Calcule as integrais dos exercícios 1-36 usando uma substituição para reduzi-las à forma-padrão.
26.
\int \frac{4 d x}{1+(2 x+1)^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int \frac{4\,dx}{1+(2x+1)^{2}}
usando uma substituição que a reduza à forma-padrão
\int \frac{du}{1+u^{2}} = \arctan(u) + C.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = 2x + 1.
Diferenciando, temos
du = 2\,dx \quad\Longrightarrow\quad dx = \frac{du}{2}.

Passo 3

Substituindo em
\int \frac{4\,dx}{1+(2x+1)^{2}}
obtém-se
\int \frac{4}{1+u^{2}}\;\frac{du}{2} = 2 \int \frac{du}{1+u^{2}}.

Passo 4

Reconhecendo a forma-padrão, integra-se:
2 \int \frac{du}{1+u^{2}} = 2\,\arctan(u) + C.

Passo 5

Voltando à variável original x:
2\,\arctan(u) + C = 2\,\arctan(2x+1) + C.

Resposta

\int \frac{4\,dx}{1+(2x+1)^{2}} = 2\,\arctan(2x+1) + C.

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