Calcule as integrais dos exercícios 37-42, completando o quadrado e usando uma substituição para reduzi-las à forma-padrão.
\int \frac{d x}{(x-2) \sqrt{x^{2}-4 x+3}}

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int \frac{dx}{(x-2)\,\sqrt{x^{2}-4x+3}}
usando completar o quadrado e uma substituição que a reduza a uma forma-padrão de integral do tipo
\int \frac{du}{u\,\sqrt{u^2 - a^2}}\,.

Passo 2

Começamos completando o quadrado no radicando:
x^{2}-4x+3 = (x-2)^{2} - 1.

Passo 3

Fazemos a substituição
u = x - 2, \quad du = dx.
Assim a integral vira
\int \frac{du}{u\,\sqrt{u^2 - 1}}\,.

Passo 4

Reconhecemos a forma-padrão
\int \frac{du}{u\,\sqrt{u^2 - a^2}} = \frac{1}{a}\,\operatorname{arcsec}\bigl|u\bigr| + C,
onde aqui a=1. Logo
\int \frac{du}{u\,\sqrt{u^2 - 1}} = \operatorname{arcsec}\bigl|u\bigr| + C.

Passo 5

Voltando à variável x, temos u=x-2. Portanto a primitiva é
\operatorname{arcsec}\bigl|x-2\bigr| + C.

Resposta

\operatorname{arcsec}\bigl|x-2\bigr| + C

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