Calcule as integrais dos exercícios 37-42, completando o quadrado e usando uma substituição para reduzi-las à forma-padrão.
\int \frac{d \theta}{\sqrt{2 \theta-\theta^{2}}}

Passo 1

O enunciado pede calcular
\int \frac{d\theta}{\sqrt{2\theta - \theta^{2}}}
usando completar o quadrado para reduzir a expressão sob a raiz a uma forma do tipo \sqrt{a^{2}-u^{2}} e, em seguida, aplicar uma substituição que leve ao integral padrão
\int \frac{du}{\sqrt{1 - u^{2}}}.

Passo 2

Primeiro fazemos o completar do quadrado no radicando:
2\theta - \theta^{2} = -\bigl(\theta^{2} - 2\theta\bigr) = -\bigl[(\theta - 1)^{2} - 1\bigr] = 1 - (\theta - 1)^{2}.

Passo 3

Substituímos esse resultado na integral:
\int \frac{d\theta}{\sqrt{1 - (\theta - 1)^{2}}}.
Agora fazemos a troca de variável
u = \theta - 1, \quad du = d\theta,
de modo que a integral vira
\int \frac{du}{\sqrt{1 - u^{2}}}.

Passo 4

Sabemos que
\int \frac{du}{\sqrt{1 - u^{2}}} = \arcsin(u) + C.
Voltando à variável original \theta, como u = \theta - 1, obtemos
\arcsin(\theta - 1) + C.

Resposta

\arcsin(\theta - 1) + C

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