Calcule as integrais dos exercícios 53-56 separando a fração e usando uma substituição (quando necessário) para reduzi-las à forma-padrão.
\int \frac{x+2 \sqrt{x-1}}{2 x \sqrt{x-1}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int \frac{x + 2\sqrt{x-1}}{2\,x\,\sqrt{x-1}}\;dx
usando separação de fração e, quando necessário, substituição para reduzir a integrais padrão. Vamos usar álgebra para decompor a fração e depois integrar cada parte.

Passo 2

Separe a fração em dois termos:
\frac{x + 2\sqrt{x-1}}{2\,x\,\sqrt{x-1}} = \frac{x}{2\,x\,\sqrt{x-1}} \;+\; \frac{2\sqrt{x-1}}{2\,x\,\sqrt{x-1}}.

Passo 3

Simplifique cada parcela:
\frac{x}{2\,x\,\sqrt{x-1}} = \frac{1}{2\,\sqrt{x-1}}, \quad \frac{2\sqrt{x-1}}{2\,x\,\sqrt{x-1}} = \frac{1}{x}.
Logo a integral fica
\int \frac{1}{2\sqrt{x-1}}\;dx \;+\; \int \frac{1}{x}\;dx.

Passo 4

Calcule \displaystyle \int \frac{1}{2\sqrt{x-1}}\;dx. Use u = x-1, então du = dx e \sqrt{x-1} = u^{1/2}:
\int \frac{1}{2\,u^{1/2}}\;du = \frac{1}{2}\int u^{-1/2}\;du = \frac{1}{2}\cdot \frac{u^{1/2}}{\tfrac12} = u^{1/2} = \sqrt{x-1}.

Passo 5

Calcule \displaystyle \int \frac{1}{x}\;dx, que é a forma-padrão do logaritmo:
\int \frac{1}{x}\;dx = \ln\lvert x\rvert.

Passo 6

Some os resultados e adicione a constante de integração C:
\sqrt{x-1} + \ln\lvert x\rvert + C.

Resposta

\sqrt{x-1} + \ln\lvert x\rvert + C.

Exercícios relacionados