Calcule as integrais fazendo as substituições indicadas:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral e já indica a substituição. As informações dadas são:
- Integral:
. - Substituição indicada:
.
Passo 2
Calcular o diferencial correspondente à substituição
. Derivando ambos os lados em relação a
obtém-se:
Multiplicando por
,
Ou seja, o elemento
do integrando é exatamente
. Essa é a razão pela qual a substituição foi sugerida: ela transforma o pedaço multiplicativo
em
.
Passo 3
Fazer a troca de variável na integral. Substituindo
e
, a integral vira:
Agora a integral está numa forma padrão em
.
Passo 4
Lembrar a primitiva conhecida: a derivada da função
é
. Portanto a primitiva de
é
(mais constante). Assim:
onde
é a constante de integração. Explicando de modo simples: integrar é “fazer o contrário” de derivar; como
, então a primitiva é
.
Passo 5
Voltar à variável original usando
. Substituindo
de volta:
Essa é a solução da integral na variável
.
Passo 6
Verificação (checagem rápida): derivar o resultado obtido para confirmar que dá o integrando original. Derivando
pelo encadeamento:
que coincide com o integrando inicial. Portanto a primitiva está correta. Força aí — você acertaria isso na prova!