Calcule as integrais fazendo as substituições indicadas:
\int \operatorname{sec} ^{2}\left(x^{2}\right) \cdot 2 x d x ; \quad u=x^{2}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral e já indica a substituição. As informações dadas são:
  • Integral: \displaystyle \int \operatorname{sec}^{2}\bigl(x^{2}\bigr)\cdot 2x\,dx.
  • Substituição indicada: u = x^{2}.

Passo 2

Calcular o diferencial correspondente à substituição u = x^{2}. Derivando ambos os lados em relação a x obtém-se:
\frac{du}{dx}=2x.
Multiplicando por dx,
du = 2x\,dx.
Ou seja, o elemento 2x\,dx do integrando é exatamente du. Essa é a razão pela qual a substituição foi sugerida: ela transforma o pedaço multiplicativo 2x\,dx em du.

Passo 3

Fazer a troca de variável na integral. Substituindo u=x^{2} e 2x\,dx=du, a integral vira:
\int \operatorname{sec}^{2}\bigl(x^{2}\bigr)\cdot 2x\,dx = \int \operatorname{sec}^{2}(u)\,du.
Agora a integral está numa forma padrão em u.

Passo 4

Lembrar a primitiva conhecida: a derivada da função \tan t é \operatorname{sec}^{2} t. Portanto a primitiva de \operatorname{sec}^{2} t é \tan t (mais constante). Assim:
\int \operatorname{sec}^{2}(u)\,du = \tan(u) + C,
onde C é a constante de integração. Explicando de modo simples: integrar é “fazer o contrário” de derivar; como \dfrac{d}{du}\bigl(\tan u\bigr)=\operatorname{sec}^{2}u, então a primitiva é \tan u.

Passo 5

Voltar à variável original usando u=x^{2}. Substituindo u de volta:
\tan(u)+C = \tan\bigl(x^{2}\bigr)+C.
Essa é a solução da integral na variável x.

Passo 6

Verificação (checagem rápida): derivar o resultado obtido para confirmar que dá o integrando original. Derivando \tan\bigl(x^{2}\bigr)+C pelo encadeamento:
\frac{d}{dx}\tan\bigl(x^{2}\bigr) = \operatorname{sec}^{2}\bigl(x^{2}\bigr)\cdot \frac{d}{dx}\bigl(x^{2}\bigr) = \operatorname{sec}^{2}\bigl(x^{2}\bigr)\cdot 2x,
que coincide com o integrando inicial. Portanto a primitiva está correta. Força aí — você acertaria isso na prova!

Resposta

\tan\bigl(x^{2}\bigr)+C

Exercícios relacionados