Calcule as integrais fazendo as substituições indicadas:
\int\left[1-\operatorname{sen}^{2}(3 x)\right] \cos (3 x) d x ; \quad u=\operatorname{sen}(3 x)

Passo 1

O enunciado dá a integral
\int\left[1-\operatorname{sen}^{2}(3x)\right]\cos(3x)\,dx
e já indica a substituição a ser usada:
u=\operatorname{sen}(3x).
O que precisamos encontrar é uma primitiva (antiderivada) da função dada, ou seja, calcular a integral indefinida usando essa substituição.

Passo 2

Primeiro precisamos relacionar du com dx. Calculemos a derivada de u em relação a x. Usamos a regra da cadeia: a derivada de \operatorname{sen}(3x) é o coseno multiplicado pela derivada de 3x. Assim,
\frac{du}{dx}=\frac{d}{dx}\operatorname{sen}(3x)=3\cos(3x).
Explanação rápida da regra da cadeia: se u=\operatorname{sen}(v(x)), então du/dx=(d/ dv)\operatorname{sen}(v)\cdot dv/dx. Aqui v(x)=3x, d\operatorname{sen}(v)/dv=\cos(v) e dv/dx=3.

Passo 3

Isolando o elemento \cos(3x)\,dx que aparece na integral, obtemos
\cos(3x)\,dx=\frac{1}{3}\,du.
Isso permitirá substituir completamente x por u na integral.

Passo 4

Agora substituímos u=\operatorname{sen}(3x) e \cos(3x)\,dx=\dfrac{1}{3}\,du na integral original:
\int\left[1-\operatorname{sen}^{2}(3x)\right]\cos(3x)\,dx = \int\left[1-u^{2}\right]\cdot\frac{1}{3}\,du.

Passo 5

Fatoramos a constante \tfrac{1}{3} para fora da integral:
\int\left[1-u^{2}\right]\cdot\frac{1}{3}\,du=\frac{1}{3}\int\left(1-u^{2}\right)\,du.
Agora usamos a regra de potência para integrais: \displaystyle\int u^{n}\,du=\frac{u^{n+1}}{n+1} para n\neq-1. Aplicando termo a termo:
\int\left(1-u^{2}\right)\,du=\int 1\,du-\int u^{2}\,du = u-\frac{u^{3}}{3}.

Passo 6

Multiplicando pelo fator \tfrac{1}{3} obtém-se a primitiva em u:
\frac{1}{3}\Big(u-\frac{u^{3}}{3}\Big)=\frac{1}{3}u-\frac{1}{9}u^{3}+C,
onde C é a constante de integração.

Passo 7

Voltemos à variável x substituindo u=\operatorname{sen}(3x):
\frac{1}{3}\operatorname{sen}(3x)-\frac{1}{9}\operatorname{sen}^{3}(3x)+C.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{3}\operatorname{sen}(3x)-\frac{1}{9}\operatorname{sen}^{3}(3x)+C

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