Calcule as integrais fazendo as substituições indicadas:
Passo 1
O enunciado dá a integral
e já indica a substituição a ser usada:
O que precisamos encontrar é uma primitiva (antiderivada) da função dada, ou seja, calcular a integral indefinida usando essa substituição.
Passo 2
Primeiro precisamos relacionar
com
. Calculemos a derivada de
em relação a
. Usamos a regra da cadeia: a derivada de
é o coseno multiplicado pela derivada de
. Assim,
Explanação rápida da regra da cadeia: se
, então
. Aqui
,
e
.
Passo 3
Isolando o elemento
que aparece na integral, obtemos
Isso permitirá substituir completamente
por
na integral.
Passo 4
Agora substituímos
e
na integral original:
Passo 5
Fatoramos a constante
para fora da integral:
Agora usamos a regra de potência para integrais:
para
. Aplicando termo a termo:
Passo 6
Multiplicando pelo fator
obtém-se a primitiva em
:
onde
é a constante de integração.
Passo 7
Voltemos à variável
substituindo
: