Calcule as integrais hiperbólicas a seguir:
\int \frac{\operatorname{cosh} (x)}{e^{x}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \frac{\operatorname{cosh}(x)}{e^{x}}\,dx.
Informações dadas:
  • A função a integrar é \dfrac{\operatorname{cosh}(x)}{e^{x}}.
  • Deve ser encontrada uma primitiva (a integral indefinida), portanto a resposta terá uma constante de integração C.

Passo 2

Primeiro, lembrar a definição de função hiperbólica que vamos usar. A definição exponencial de \operatorname{cosh}(x) é
\operatorname{cosh}(x)=\frac{e^{x}+e^{-x}}{2}.
Também é útil lembrar a regra básica de integração exponencial: para a constante,
\int e^{a x}\,dx=\frac{1}{a}e^{a x}+C.
Aqui a pode ser negativo; basta aplicar essa fórmula com a=-2 quando aparecer.

Passo 3

Substituir a definição de \operatorname{cosh}(x) na integral e simplificar o integrando passo a passo:
\frac{\operatorname{cosh}(x)}{e^{x}}=\frac{\dfrac{e^{x}+e^{-x}}{2}}{e^{x}}=\frac{e^{x}+e^{-x}}{2e^{x}}=\frac{1}{2}+\frac{e^{-2x}}{2}.
Portanto a integral fica
\int \frac{\operatorname{cosh}(x)}{e^{x}}\,dx=\int\left(\frac{1}{2}+\frac{e^{-2x}}{2}\right)dx.

Passo 4

Separar e integrar termo a termo usando a linearidade da integral:
\int\left(\frac{1}{2}+\frac{e^{-2x}}{2}\right)dx=\frac{1}{2}\int 1\,dx+\frac{1}{2}\int e^{-2x}\,dx.
Aplicando as fórmulas:
\int 1\,dx = x + C_1, \qquad \int e^{-2x}\,dx = \frac{1}{-2}e^{-2x}+C_2 = -\frac{1}{2}e^{-2x}+C_2.

Passo 5

Combinar os resultados (os constantes C_1,C_2 podem ser absorvidos numa única constante C):
\frac{1}{2}\,x+\frac{1}{2}\left(-\frac{1}{2}e^{-2x}\right)+C=\frac{x}{2}-\frac{e^{-2x}}{4}+C.
Fazer uma checagem rápida derivando a primitiva encontrada:
\frac{d}{dx}\left(\frac{x}{2}-\frac{e^{-2x}}{4}\right)=\frac{1}{2}-\frac{1}{4}\cdot(-2)e^{-2x}=\frac{1}{2}+\frac{e^{-2x}}{2},
que é exatamente \dfrac{\operatorname{cosh}(x)}{e^{x}} após a simplificação feita no Passo 3. Tudo consistente.

Resposta

\frac{x}{2}-\frac{e^{-2x}}{4}+C

Exercícios relacionados