) Calcule as seguintes integrais, usando a manipulação adequada.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral
Informações claras que temos:
- A função integranda é
(aqui interpretei como , a tangente). - Queremos uma primitiva (antiderivada) dessa função, isto é, encontrar uma expressão
tal que . - Não há condições adicionais (intervalo, valores etc.), então retornamos a primitiva geral com constante de integração
.
Passo 2
Estratégia e identidade trigonométrica útil (aqui ensino o que vamos usar).
- Recorde a identidade fundamental entre secante e tangente:
Explicando: essa identidade vem de
, que é derivada da identidade pitagórica em trigonometria. É muito útil para converter potências pares de
em potências de
.
- Observação sobre derivadas básicas:
. Isso sugere que uma boa substituição é quando aparecer um fator .
Vamos usar essas ideias: tirar um fator
da integranda (para fazer
) e transformar o resto em potências de
usando
.
Passo 3
Fatorar a integranda para expor
.
Agora substituímos
por
:
Portanto a integranda fica
Passo 4
Fazer a substituição sugerida. Seja
Como
, a integral original transformou-se em uma integral em
:
Aqui usei que
e
.
Passo 5
Integrar o polinômio em
usando a regra da potência. Lembre que para
Aplicando:
Passo 6
Voltar à variável original
substituindo
:
Passo 7
Checagem rápida (opcional, para ganhar confiança): derivando
usando a regra da cadeia e
deve retornar
. Essa verificação confirma que o resultado está correto.