5^{\circ} ) Calcule as seguintes integrais, usando a manipulação adequada.
\int \operatorname{sec} ^{5}(x) * \operatorname{tg}^{3}(x) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \operatorname{sec}^{5}(x)\,\operatorname{tg}^{3}(x)\,dx.
Informações claras que temos:
  • A função integranda é \operatorname{sec}^{5}(x)\tan^{3}(x) (aqui interpretei \operatorname{tg} como \tan, a tangente).
  • Queremos uma primitiva (antiderivada) dessa função, isto é, encontrar uma expressão F(x) tal que F'(x)=\operatorname{sec}^{5}(x)\tan^{3}(x).
  • Não há condições adicionais (intervalo, valores etc.), então retornamos a primitiva geral com constante de integração C.

Passo 2

Estratégia e identidade trigonométrica útil (aqui ensino o que vamos usar).
  • Recorde a identidade fundamental entre secante e tangente:
\tan^{2}(x)=\operatorname{sec}^{2}(x)-1.
Explicando: essa identidade vem de 1+\tan^{2}x=\operatorname{sec}^{2}x, que é derivada da identidade pitagórica em trigonometria. É muito útil para converter potências pares de \tan em potências de \operatorname{sec}.
  • Observação sobre derivadas básicas: \dfrac{d}{dx}\operatorname{sec} x=\operatorname{sec} x\tan x. Isso sugere que uma boa substituição é u=\operatorname{sec} x quando aparecer um fator \operatorname{sec} x\tan x\,dx.
Vamos usar essas ideias: tirar um fator \operatorname{sec} x\tan x\,dx da integranda (para fazer du) e transformar o resto em potências de \operatorname{sec} x usando \tan^{2}x=\operatorname{sec}^{2}x-1.

Passo 3

Fatorar a integranda para expor \operatorname{sec} x\tan x\,dx.
\operatorname{sec}^{5}x\,\tan^{3}x = (\operatorname{sec} x\tan x)\cdot \operatorname{sec}^{4}x\,\tan^{2}x.
Agora substituímos \tan^{2}x por \operatorname{sec}^{2}x-1:
\operatorname{sec}^{4}x\,\tan^{2}x = \operatorname{sec}^{4}x(\operatorname{sec}^{2}x-1)=\operatorname{sec}^{6}x-\operatorname{sec}^{4}x.
Portanto a integranda fica
\operatorname{sec}^{5}x\,\tan^{3}x = (\operatorname{sec} x\tan x)\,(\operatorname{sec}^{6}x-\operatorname{sec}^{4}x).

Passo 4

Fazer a substituição sugerida. Seja
u=\operatorname{sec} x \quad\Rightarrow\quad du=\operatorname{sec} x\tan x\,dx.
Como \operatorname{sec} x\tan x\,dx=du, a integral original transformou-se em uma integral em u:
\int \operatorname{sec}^{5}x\,\tan^{3}x\,dx = \int (\operatorname{sec}^{6}x-\operatorname{sec}^{4}x)\,(\operatorname{sec} x\tan x\,dx) = \int (u^{6}-u^{4})\,du.
Aqui usei que \operatorname{sec}^{6}x=u^{6} e \operatorname{sec}^{4}x=u^{4}.

Passo 5

Integrar o polinômio em u usando a regra da potência. Lembre que para n\neq -1
\int u^{n}\,du=\frac{u^{n+1}}{n+1}+C.
Aplicando:
\int (u^{6}-u^{4})\,du = \frac{u^{7}}{7}-\frac{u^{5}}{5}+C.

Passo 6

Voltar à variável original x substituindo u=\operatorname{sec} x:
\frac{u^{7}}{7}-\frac{u^{5}}{5}+C = \frac{\operatorname{sec}^{7}x}{7}-\frac{\operatorname{sec}^{5}x}{5}+C.

Passo 7

Checagem rápida (opcional, para ganhar confiança): derivando \dfrac{\operatorname{sec}^{7}x}{7}-\dfrac{\operatorname{sec}^{5}x}{5} usando a regra da cadeia e \dfrac{d}{dx}\operatorname{sec} x=\operatorname{sec} x\tan x deve retornar \operatorname{sec}^{5}x\tan^{3}x. Essa verificação confirma que o resultado está correto.

Resposta

\displaystyle \frac{\operatorname{sec}^{7}x}{7}-\frac{\operatorname{sec}^{5}x}{5}+C

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