Calcule as integrais:
\iiint_{B}\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right) d x d y d z, onde B é a bola unitária x^{2}+y^{2}+z^{2} \leq 1.

Passo 1

O enunciado pede a integral tripla \displaystyle \iiint_{B}(x^{2}+y^{2}+z^{2})\,dx\,dy\,dz
sobre a bola unitária B\colon x^{2}+y^{2}+z^{2}\le1.
O conteúdo é cálculo de integrais múltiplas usando coordenadas esféricas.

Passo 2

Em coordenadas esféricas definimos
x^{2}+y^{2}+z^{2}=r^{2},
e o elemento de volume é
dV = r^{2}\sin\varphi\,dr\,d\varphi\,d\theta,
com r\in[0,1], \varphi\in[0,\pi] e \theta\in[0,2\pi].

Passo 3

Substituindo na integral, obtemos
\iiint_{B}(x^{2}+y^{2}+z^{2})\,dV = \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\pi}\int_{0}^{1}r^{2}\,\bigl(r^{2}\sin\varphi\bigr)\,dr\,d\varphi\,d\theta.

Passo 4

Como os limites separam, escrevemos
\int_{0}^{2\pi}d\theta \;\times\; \int_{0}^{\pi}\sin\varphi\,d\varphi \;\times\; \int_{0}^{1}r^{4}\,dr
e cada parte vale, respectivamente,
2\pi,\quad 2,\quad \frac{1}{5}.

Passo 5

Multiplicando esses resultados, vem
2\pi \times 2 \times \frac{1}{5} = \frac{4\pi}{5}.

Resposta

\displaystyle \frac{4\pi}{5}

Exercícios relacionados