Calcule as integrais:
, onde
é a parte da bola unitária
contida no primeiro octante.
Passo 1
O enunciado pede
onde
é a parte da bola unitária
contida no primeiro octante
,
,
.
Para resolver, vamos usar coordenadas esféricas, que são indicadas para regiões esféricas.
Para resolver, vamos usar coordenadas esféricas, que são indicadas para regiões esféricas.
Passo 2
Em coordenadas esféricas tomamos
com
,
ângulo polar medido desde o eixo
, e
ângulo azimutal no plano
.
No primeiro octante:
No primeiro octante:
O fator de escala (Jacobiano) é
Passo 3
Na integral aparece
. Em esféricas:
Portanto o integrando completo é
A integral separa-se em produto de três integrais:
Passo 4
Calculamos cada fator:
-
2.
(Fórmula padrão ou uso de .) -
.
Use e a substituição :
Passo 5
Multiplicando os três resultados: