Calcule a integral \iiint_{E} x d x d y d z, onde E=\left\{(x, y, z): \frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{9}+z^{2} \leq 1, x \geq 0\right\} . \quad Resp. 3 \pi.

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos que calcular a integral tripla \displaystyle \iiint_{E}x\,dx\,dy\,dz
sobre o semi-elipsoide \displaystyle E=\{(x,y,z)\mid \tfrac{x^{2}}{4}+\tfrac{y^{2}}{9}+z^{2}\le1,\;x\ge0\}.
Vamos usar uma mudança de variáveis afim para transformar E numa semi-esfera unitária e depois aplicar coordenadas esféricas.

Passo 2

Definimos a transformação
\begin{cases} x=2u,\\\ y=3v,\\\ z=w, \end{cases}
que envia E em \displaystyle E'=\{(u,v,w)\mid u^{2}+v^{2}+w^{2}\le1,\;u\ge0\}.
O Jacobiano dessa transformação é
\frac{\partial(x,y,z)}{\partial(u,v,w)}=2\cdot3\cdot1=6.
Logo
\iiint_{E}x\,dV =\iiint_{E'}(2u)\cdot6\,du\,dv\,dw =12\iiint_{E'}u\,dV_{u,v,w}.

Passo 3

Nas coordenadas esféricas centradas em (u,v,w), tomamos
u=\rho\cos\varphi,\quad v=\rho\sin\varphi\cos\theta,\quad w=\rho\sin\varphi\sin\theta,
com \rho\in[0,1],\;\varphi\in[0,\tfrac\pi2],\;\theta\in[0,2\pi]
e
dV_{u,v,w}=\rho^{2}\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta.

Passo 4

Substituindo na integral obtemos
12\int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{\pi/2}\!\int_{0}^{1} (\rho\cos\varphi)\,\rho^{2}\sin\varphi \,d\rho\,d\varphi\,d\theta =12\Bigl(\int_{0}^{2\pi}d\theta\Bigr) \Bigl(\int_{0}^{\pi/2}\sin\varphi\cos\varphi\,d\varphi\Bigr) \Bigl(\int_{0}^{1}\rho^{3}\,d\rho\Bigr).
Calculamos cada integral: \displaystyle \int_{0}^{2\pi}d\theta=2\pi, \displaystyle \int_{0}^{\pi/2}\sin\varphi\cos\varphi\,d\varphi=\tfrac12, \displaystyle \int_{0}^{1}\rho^{3}\,d\rho=\tfrac14.
Portanto
12\cdot2\pi\cdot\tfrac12\cdot\tfrac14 =3\pi.

Resposta

3\pi

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