Calcule a integral \iiint_{E} x d x d y d z, onde E=\left\{(x, y, z): \frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{9}+z^{2} \leq 1, x \geq 0\right\} . \quad Resp. 3 \pi.
Passo 1
Resumindo o enunciado: temos que calcular a integral tripla \displaystyle \iiint_{E}x\,dx\,dy\,dz
sobre o semi-elipsoide \displaystyle E=\{(x,y,z)\mid \tfrac{x^{2}}{4}+\tfrac{y^{2}}{9}+z^{2}\le1,\;x\ge0\}.
Vamos usar uma mudança de variáveis afim para transformar E numa semi-esfera unitária e depois aplicar coordenadas esféricas.
Passo 2
Definimos a transformação
\begin{cases} x=2u,\\\ y=3v,\\\ z=w, \end{cases}
que envia E em \displaystyle E'=\{(u,v,w)\mid u^{2}+v^{2}+w^{2}\le1,\;u\ge0\}.
O Jacobiano dessa transformação é