Calcule as integrais impróprias abaixo.
\int_{0}^{\infty} \frac{16 \arctan (x)}{1+x^{2}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral imprópria
\int_{0}^{\infty}\frac{16\,\arctan(x)}{1+x^{2}}\,dx.
O conteúdo principal é integração por partes aplicada a funções envolvendo \arctan(x), e vamos precisar usar que \frac{d}{dx}\bigl(\arctan(x)\bigr)=\frac{1}{1+x^{2}}
e os limites \arctan(0)=0, \arctan(\infty)=\frac{\pi}{2}.

Passo 2

Definimos
I = \int_{0}^{\infty}\frac{16\,\arctan(x)}{1+x^{2}}\,dx
e escolhemos integração por partes com
u = \arctan(x), \quad dv = \frac{16}{1+x^{2}}\,dx.
Então
du = \frac{1}{1+x^{2}}\,dx, \quad v = 16\,\arctan(x).

Passo 3

Pela fórmula de integração por partes,
I = \bigl[u\,v\bigr]_{0}^{\infty} - \int_{0}^{\infty}v\,du = \Bigl[16\bigl(\arctan(x)\bigr)^{2}\Bigr]_{0}^{\infty} - \int_{0}^{\infty}\frac{16\,\arctan(x)}{1+x^{2}}\,dx.
Repare que o segundo termo é exatamente I novamente. O termo de borda fica
\Bigl[16(\arctan(x))^{2}\Bigr]_{0}^{\infty} =16\Bigl(\tfrac{\pi}{2}\Bigr)^{2}-16\cdot0^{2} =4\pi^{2}.

Passo 4

Substituindo na equação de partes:
I = 4\pi^{2} - I \quad\Longrightarrow\quad 2I = 4\pi^{2} \quad\Longrightarrow\quad I = 2\pi^{2}.

Resposta

2\pi^{2}

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