Calcule as integrais indefinidas abaixo. Considerar constantes os elementos que não forem variáveis de integração.
\int \frac{t^{2}+t-\sqrt[3]{t^{2}}}{t} d t

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \frac{t^{2}+t-\sqrt[3]{t^{2}}}{t}\,dt.
Informações dadas e observações iniciais:
  • A variável de integração é t.
  • Elementos que não forem variáveis de integração são tratados como constantes (aqui não há outras variáveis).
  • Deve-se lembrar que a presença de t no denominador exige t\neq0; a integral é calculada para t\neq0.
    A tarefa é encontrar uma primitiva (antiderivada) dessa função.

Passo 2

Primeiro passo prático: escrever a raiz cúbica como potência fracionária, pois isso facilita as contas. Usamos a identidade
\sqrt[3]{t^{2}}=t^{2/3}.
Assim o integrando fica
\frac{t^{2}+t-t^{2/3}}{t}.

Passo 3

Agora simplificamos dividindo cada termo por t. Lembre que ao dividir potências com mesma base subtrai-se os expoentes:
\frac{t^{2}}{t}=t^{2-1}=t, \qquad \frac{t}{t}=1, \qquad \frac{t^{2/3}}{t}=t^{2/3-1}=t^{-1/3}.
Portanto o integrando se transforma em
t+1-t^{-1/3}.

Passo 4

Escrevemos a integral como soma de integrais mais simples:
\int \frac{t^{2}+t-\sqrt[3]{t^{2}}}{t}\,dt = \int \bigl(t+1-t^{-1/3}\bigr)\,dt = \int t\,dt + \int 1\,dt - \int t^{-1/3}\,dt.

Passo 5

Apresento a regra básica que vou usar (regra do poder para integrais):
seja n um número real diferente de -1, então
\int t^{n}\,dt=\frac{t^{n+1}}{n+1}+C,
onde t é a variável de integração, n é o expoente, e C é a constante de integração. Isso vem da regra de derivação inversa porque ao derivar \dfrac{t^{n+1}}{n+1} obtém-se t^{n}.
Também é trivial que
\int 1\,dt = t + C,
pois a derivada de t é 1.

Passo 6

Aplicando a regra do poder a cada parcela:
  1. Para \int t\,dt temos n=1. Assim
\int t\,dt=\frac{t^{1+1}}{1+1}=\frac{t^{2}}{2}.
  1. Para \int 1\,dt já dito:
\int 1\,dt=t.
  1. Para \int t^{-1/3}\,dt temos n=-\tfrac{1}{3}. Então n+1=-\tfrac{1}{3}+1=\tfrac{2}{3}. Aplicando a fórmula,
\int t^{-1/3}\,dt=\frac{t^{2/3}}{2/3}=\frac{3}{2}\,t^{2/3}.
Lembre que o sinal da terceira parcela na integral original era negativo, portanto o termo resultante entra com sinal -.

Passo 7

Juntando os resultados das três integrais e adicionando a constante de integração C:
\int \frac{t^{2}+t-\sqrt[3]{t^{2}}}{t}\,dt = \frac{t^{2}}{2} + t - \frac{3}{2}\,t^{2/3} + C.

Passo 8

Verificação rápida (opcional, mas útil para prova): derivando a primitiva obtida deve-se retornar ao integrando. Diferenciando
\frac{d}{dt}\!\left(\frac{t^{2}}{2}\right)=t,\qquad \frac{d}{dt}(t)=1,\qquad \frac{d}{dt}\!\left(\frac{3}{2}t^{2/3}\right)=\frac{3}{2}\cdot\frac{2}{3}t^{-1/3}=t^{-1/3},
logo a derivada de \dfrac{t^{2}}{2}+t-\dfrac{3}{2}t^{2/3} é t+1-t^{-1/3}, que é exatamente o integrando simplificado. Tudo certo.

Resposta

\frac{t^{2}}{2} + t - \frac{3}{2}\,t^{2/3} + C

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