Calcule as integrais indefinidas abaixo. Considerar constantes os elementos que não forem variáveis de integração.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
Informações dadas e observações iniciais:
- A variável de integração é
. - Elementos que não forem variáveis de integração são tratados como constantes (aqui não há outras variáveis).
- Deve-se lembrar que a presença de
no denominador exige ; a integral é calculada para .
A tarefa é encontrar uma primitiva (antiderivada) dessa função.
Passo 2
Primeiro passo prático: escrever a raiz cúbica como potência fracionária, pois isso facilita as contas. Usamos a identidade
Assim o integrando fica
Passo 3
Agora simplificamos dividindo cada termo por
. Lembre que ao dividir potências com mesma base subtrai-se os expoentes:
Portanto o integrando se transforma em
Passo 4
Escrevemos a integral como soma de integrais mais simples:
Passo 5
Apresento a regra básica que vou usar (regra do poder para integrais):
seja um número real diferente de
, então
seja
onde
é a variável de integração,
é o expoente, e
é a constante de integração. Isso vem da regra de derivação inversa porque ao derivar
obtém-se
.
Também é trivial que
pois a derivada de
é
.
Passo 6
Aplicando a regra do poder a cada parcela:
- Para
temos . Assim
- Para
já dito:
- Para
temos . Então . Aplicando a fórmula,
Lembre que o sinal da terceira parcela na integral original era negativo, portanto o termo resultante entra com sinal
.
Passo 7
Juntando os resultados das três integrais e adicionando a constante de integração
:
Passo 8
Verificação rápida (opcional, mas útil para prova): derivando a primitiva obtida deve-se retornar ao integrando. Diferenciando
logo a derivada de
é
, que é exatamente o integrando simplificado. Tudo certo.