Calcule as integrais indefinidas abaixo. Considerar constantes os elementos que não forem variáveis de integração.
\int \frac{15 x^{2}-30 \sqrt{x}}{\sqrt[3]{x}} d x

Passo 1

O enunciado pede a integral indefinida
\int \frac{15 x^{2}-30 \sqrt{x}}{\sqrt[3]{x}}\,dx.
Informações dadas e convenções a usar:
  • A variável de integração é x.
  • Elementos que não são variáveis de integração são considerados constantes (não há outras variáveis aqui).
  • Note que a expressão envolve \sqrt{x} e \sqrt[3]{x}; portanto estamos trabalhando sobre x\ge 0 para que \sqrt{x} esteja bem definida (a raiz quadrada real).
  • O objetivo é encontrar uma primitiva (antiderivada) da função dada, ou seja, uma função F(x) tal que F'(x) seja o integrando, adicionando a constante de integração C.

Passo 2

Primeiro simplificamos a expressão usando potências: lembrar que \sqrt{x}=x^{1/2} e \sqrt[3]{x}=x^{1/3}. Substituindo na integral obtemos a forma
\int \frac{15 x^{2}-30 x^{1/2}}{x^{1/3}}\,dx.

Passo 3

Agora usamos a regra de divisão de potências de mesma base: x^{a}/x^{b}=x^{a-b}. Aplicando aos dois termos do numerador:
  • Para o primeiro termo: x^{2}/x^{1/3}=x^{2-1/3}. Calcular o expoente: 2=\dfrac{6}{3}, então
2-\tfrac{1}{3}=\tfrac{6}{3}-\tfrac{1}{3}=\tfrac{5}{3}.
  • Para o segundo termo: x^{1/2}/x^{1/3}=x^{1/2-1/3}. Colocando com denominador comum 6:
\tfrac{1}{2}-\tfrac{1}{3}=\tfrac{3}{6}-\tfrac{2}{6}=\tfrac{1}{6}.

Passo 4

Substituindo esses expoentes na integral, o integrando fica soma de potências simples:
\int \left(15 x^{5/3} - 30 x^{1/6}\right)\,dx.

Passo 5

Vamos usar a regra básica de integração para potências: para n\neq -1,
\int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C.
Aqui os expoentes são n=\tfrac{5}{3} e n=\tfrac{1}{6}, ambos diferentes de -1, então a regra vale.

Passo 6

Integramos termo a termo. Para o primeiro termo 15 x^{5/3}:
\int 15 x^{5/3}\,dx = 15\cdot\frac{x^{5/3+1}}{5/3+1} + C_1.
Calcular 5/3+1 = 5/3 + 3/3 = 8/3. Assim
15\cdot\frac{x^{8/3}}{8/3} = 15\cdot\frac{3}{8}\,x^{8/3} = \frac{45}{8}\,x^{8/3}.

Passo 7

Agora o segundo termo -30 x^{1/6}:
\int -30 x^{1/6}\,dx = -30\cdot\frac{x^{1/6+1}}{1/6+1} + C_2.
Calcular 1/6+1 = 1/6 + 6/6 = 7/6. Assim
-30\cdot\frac{x^{7/6}}{7/6} = -30\cdot\frac{6}{7}\,x^{7/6} = -\frac{180}{7}\,x^{7/6}.

Passo 8

Somando as duas primitivas (e juntando as constantes C_1 e C_2 numa única constante C), obtemos a primitiva geral:
F(x)=\frac{45}{8}\,x^{8/3}-\frac{180}{7}\,x^{7/6}+C.

Passo 9

Verificação rápida (diferenciação) para checar: derivando F(x),
F'(x)=\frac{45}{8}\cdot\frac{8}{3}x^{5/3}-\frac{180}{7}\cdot\frac{7}{6}x^{1/6} =15 x^{5/3}-30 x^{1/6},
que é exatamente o integrando simplificado que obtivemos no Passo 4. Portanto a primitiva está correta.

Resposta

\dfrac{45}{8}\,x^{8/3}-\dfrac{180}{7}\,x^{7/6}+C

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