Calcule as integrais indefinidas abaixo. Considerar constantes os elementos que não forem variáveis de integração.
Passo 1
O enunciado pede a integral indefinida
Informações dadas e convenções a usar:
- A variável de integração é
. - Elementos que não são variáveis de integração são considerados constantes (não há outras variáveis aqui).
- Note que a expressão envolve
e ; portanto estamos trabalhando sobre para que esteja bem definida (a raiz quadrada real). - O objetivo é encontrar uma primitiva (antiderivada) da função dada, ou seja, uma função
tal que seja o integrando, adicionando a constante de integração .
Passo 2
Primeiro simplificamos a expressão usando potências: lembrar que
e
. Substituindo na integral obtemos a forma
Passo 3
Agora usamos a regra de divisão de potências de mesma base:
. Aplicando aos dois termos do numerador:
- Para o primeiro termo:
. Calcular o expoente: , então
- Para o segundo termo:
. Colocando com denominador comum :
Passo 4
Substituindo esses expoentes na integral, o integrando fica soma de potências simples:
Passo 5
Vamos usar a regra básica de integração para potências: para
,
Aqui os expoentes são
e
, ambos diferentes de
, então a regra vale.
Passo 6
Integramos termo a termo. Para o primeiro termo
:
Calcular
. Assim
Passo 7
Agora o segundo termo
:
Calcular
. Assim
Passo 8
Somando as duas primitivas (e juntando as constantes
e
numa única constante
), obtemos a primitiva geral:
Passo 9
Verificação rápida (diferenciação) para checar: derivando
,
que é exatamente o integrando simplificado que obtivemos no Passo 4. Portanto a primitiva está correta.