Calcule as integrais indefinidas abaixo. Considerar constantes os elementos que não forem variáveis de integração.
\int-\frac{4}{15 u} d u

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int -\frac{4}{15\,u}\,du.
Informações dadas:
  • A variável de integração é u.
  • Tudo que não depende de u é tratado como constante (aqui o número -\tfrac{4}{15} é constante).
  • Deve-se incluir a constante de integração no final.

Passo 2

Regra básica que vamos usar: a primitiva de \dfrac{1}{u} é o logaritmo natural do valor absoluto de u. Ou seja,
\int \frac{1}{u}\,du = \ln|u| + C,
onde C é a constante de integração. Explicação curta do porquê: a derivada de \ln|u| em relação a u é \dfrac{1}{u} para u\neq 0, então \ln|u| é uma primitiva de \dfrac{1}{u}.

Passo 3

Fatorar constantes para fora da integral. Podemos escrever
\int -\frac{4}{15\,u}\,du = -\frac{4}{15}\int \frac{1}{u}\,du,
porque -\tfrac{4}{15} não depende de u e, portanto, pode sair da operação de integração.

Passo 4

Aplicar a primitiva conhecida de \dfrac{1}{u}. Usando a regra do Passo 2:
-\frac{4}{15}\int \frac{1}{u}\,du = -\frac{4}{15}\bigl(\ln|u| + C\bigr).
A constante multiplicada por uma constante ainda é uma constante, então podemos absorvê-la numa nova constante de integração.

Passo 5

Simplificar a expressão e indicar a constante de integração final. Assim obtemos a primitiva
-\frac{4}{15}\ln|u| + C,
onde C é a constante de integração arbitrária. Observação: a expressão só faz sentido para u\neq 0 (por causa de \dfrac{1}{u} e do logaritmo).

Resposta

-\frac{4}{15}\ln|u|+C

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