Calcule as integrais indefinidas abaixo. Considerar constantes os elementos que não forem variáveis de integração.
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral indefinida
Informações dadas:
- A variável de integração é
. - Qualquer símbolo que apareça e não seja
deve ser tratado como constante relativamente à operação de integração, salvo quando depender de (aqui e dependem de ). - A tarefa é encontrar uma primitiva (uma função cuja derivada dá o integrando), mais uma constante de integração
.
Passo 2
Observação didática sobre técnica a usar: quando dentro de uma função composta aparece uma expressão
e também aparece um fator
fora, isso sugere a substituição por uma nova variável que elimine a composição. Além disso, recordar a regra de derivação da função secante:
onde
é uma função de
. Aqui há exatamente um produto
que lembra essa derivada combinada com
vindo de
. Por isso escolhemos a substituição
Passo 3
Calcular
usando a regra da cadeia. Primeiro, diferenciar
:
Portanto
Isolando o diferencial que aparece no integrando: note que
Passo 4
Reescrever a integral em termos de
. Substituindo na integral original obtemos
Recordando que a primitiva de
é
, temos
Passo 5
Voltar à variável original
substituindo
:
Passo 6
Verificação rápida (opcional, para treinar): derivando a resposta usa-se a regra da cadeia:
que coincide com o integrando. Tudo certo!