Calcule as integrais indefinidas abaixo. Considerar constantes os elementos que não forem variáveis de integração.
\int 15 x e^{\operatorname{sec} x^{2}} \operatorname{sec} x^{2} \operatorname{tg} x^{2} d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral indefinida
\int 15\,x\,e^{\operatorname{sec} x^{2}}\,\operatorname{sec} x^{2}\,\tan x^{2}\,dx.
Informações dadas:
  • A variável de integração é x.
  • Qualquer símbolo que apareça e não seja x deve ser tratado como constante relativamente à operação de integração, salvo quando depender de x (aqui \operatorname{sec} x^{2} e \tan x^{2} dependem de x).
  • A tarefa é encontrar uma primitiva (uma função cuja derivada dá o integrando), mais uma constante de integração C.

Passo 2

Observação didática sobre técnica a usar: quando dentro de uma função composta aparece uma expressão x^{2} e também aparece um fator x\,dx fora, isso sugere a substituição por uma nova variável que elimine a composição. Além disso, recordar a regra de derivação da função secante:
\frac{d}{dv}\big(\operatorname{sec} v\big)=\operatorname{sec} v\cdot\tan v,
onde v é uma função de x. Aqui há exatamente um produto \operatorname{sec} x^{2}\tan x^{2} que lembra essa derivada combinada com x vindo de x^{2}. Por isso escolhemos a substituição
u=\operatorname{sec} x^{2}.

Passo 3

Calcular du usando a regra da cadeia. Primeiro, diferenciar \operatorname{sec} x^{2}:
\frac{d}{dx}\big(\operatorname{sec} x^{2}\big)=\operatorname{sec} x^{2}\cdot\tan x^{2}\cdot\frac{d}{dx}(x^{2}) =\operatorname{sec} x^{2}\cdot\tan x^{2}\cdot 2x.
Portanto
du = 2x\,\operatorname{sec} x^{2}\,\tan x^{2}\,dx.
Isolando o diferencial que aparece no integrando: note que
15\,x\,\operatorname{sec} x^{2}\,\tan x^{2}\,dx = \frac{15}{2}\,du.

Passo 4

Reescrever a integral em termos de u. Substituindo na integral original obtemos
\int 15\,x\,e^{\operatorname{sec} x^{2}}\,\operatorname{sec} x^{2}\,\tan x^{2}\,dx = \int e^{u}\cdot\frac{15}{2}\,du = \frac{15}{2}\int e^{u}\,du.
Recordando que a primitiva de e^{u} é e^{u}, temos
\frac{15}{2}\int e^{u}\,du = \frac{15}{2}\,e^{u}+C.

Passo 5

Voltar à variável original x substituindo u=\operatorname{sec} x^{2}:
\frac{15}{2}\,e^{u}+C = \frac{15}{2}\,e^{\operatorname{sec} x^{2}}+C.

Passo 6

Verificação rápida (opcional, para treinar): derivando a resposta usa-se a regra da cadeia:
\frac{d}{dx}\left(\frac{15}{2}e^{\operatorname{sec} x^{2}}\right) =\frac{15}{2}e^{\operatorname{sec} x^{2}}\cdot\frac{d}{dx}(\operatorname{sec} x^{2}) =\frac{15}{2}e^{\operatorname{sec} x^{2}}\cdot 2x\operatorname{sec} x^{2}\tan x^{2} =15x e^{\operatorname{sec} x^{2}}\operatorname{sec} x^{2}\tan x^{2},
que coincide com o integrando. Tudo certo!

Resposta

\displaystyle \frac{15}{2}e^{\operatorname{sec} x^{2}}+C

Exercícios relacionados