Calcule as integrais indefinidas abaixo. Considerar constantes os elementos que não forem variáveis de integração.
\int \frac{\cos \theta}{1+\operatorname{sen}^{2} \theta} d \theta

Passo 1

O que o problema pede: calcular a integral indefinida
\int \frac{\cos\theta}{1+\operatorname{sen}^{2}\theta}\,d\theta.
Informações dadas e observações iniciais:
  • A variável de integração é \theta.
  • Elementos que não dependem de \theta (se houvesse) seriam tratados como constantes.
  • O integrando tem \cos\theta no numerador e uma função de \operatorname{sen}\theta no denominador, o que sugere uma substituição com \operatorname{sen}\theta.

Passo 2

Estratégia (por que a substituição funciona): quando vemos uma integral na forma \dfrac{f'(\theta)}{1+f(\theta)^2}, é natural escolher u=f(\theta), porque du=f'(\theta)\,d\theta transforma o integrando em \dfrac{du}{1+u^2}. Aqui f(\theta)=\operatorname{sen}\theta e f'(\theta)=\cos\theta, então a substituição é perfeita.
Faça a substituição:
u=\operatorname{sen}\theta.
Derivando ambos os lados em relação a \theta:
du=\cos\theta\,d\theta.

Passo 3

Substituindo na integral original usando u e du:
\int \frac{\cos\theta}{1+\operatorname{sen}^{2}\theta}\,d\theta = \int \frac{du}{1+u^{2}}.

Passo 4

Integral conhecida: a primitiva de \dfrac{1}{1+u^{2}} é a função arco-tangente. Em outras palavras,
\int \frac{du}{1+u^{2}}=\arctan u + C,
porque a derivada de \arctan u é \dfrac{1}{1+u^{2}}. (Explicando rapidinho: se F(u)=\arctan u, então F'(u)=\dfrac{1}{1+u^{2}} por regra da derivada da arctangente.)
Aplicando isso ao caso:
\int \frac{du}{1+u^{2}}=\arctan u + C.

Passo 5

Voltar para a variável \theta substituindo u=\operatorname{sen}\theta:
\int \frac{\cos\theta}{1+\operatorname{sen}^{2}\theta}\,d\theta = \arctan\big(\operatorname{sen}\theta\big) + C.

Passo 6

Verificação por derivação (confirmação útil na prova): calcule a derivada de \arctan(\operatorname{sen}\theta).
Usando a regra da cadeia:
\frac{d}{d\theta}\arctan(\operatorname{sen}\theta) = \frac{1}{1+\operatorname{sen}^{2}\theta}\cdot\frac{d}{d\theta}\big(\operatorname{sen}\theta\big) = \frac{1}{1+\operatorname{sen}^{2}\theta}\cdot\cos\theta = \frac{\cos\theta}{1+\operatorname{sen}^{2}\theta},
ou seja, recuperamos o integrando original — está certo.

Resposta

\arctan\big(\operatorname{sen}\theta\big)+C

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