Calcule as integrais indefinidas abaixo. Considerar constantes os elementos que não forem variáveis de integração.
Passo 1
O que o problema pede: calcular a integral indefinida
Informações dadas e observações iniciais:
- A variável de integração é
. - Elementos que não dependem de
(se houvesse) seriam tratados como constantes. - O integrando tem
no numerador e uma função de no denominador, o que sugere uma substituição com .
Passo 2
Estratégia (por que a substituição funciona): quando vemos uma integral na forma
, é natural escolher
, porque
transforma o integrando em
. Aqui
e
, então a substituição é perfeita.
Faça a substituição:
Derivando ambos os lados em relação a
:
Passo 3
Substituindo na integral original usando
e
:
Passo 4
Integral conhecida: a primitiva de
é a função arco-tangente. Em outras palavras,
porque a derivada de
é
. (Explicando rapidinho: se
, então
por regra da derivada da arctangente.)
Aplicando isso ao caso:
Passo 5
Voltar para a variável
substituindo
:
Passo 6
Verificação por derivação (confirmação útil na prova): calcule a derivada de
.
Usando a regra da cadeia:
Usando a regra da cadeia:
ou seja, recuperamos o integrando original — está certo.