Calcule as integrais indefinidas abaixo:
\int \frac{\sin (5 x)}{1+\cos (5 x)} d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral indefinida
\int \frac{\sin(5x)}{1+\cos(5x)}\,dx.
Informações dadas: a função integranda é \dfrac{\sin(5x)}{1+\cos(5x)}. Não há mais restrições explícitas no enunciado (domínio implícito onde o denominador não é zero). A missão é encontrar uma primitiva dessa função, ou seja, uma expressão F(x) tal que F'(x)=\dfrac{\sin(5x)}{1+\cos(5x)}.

Passo 2

Ideia de resolução (sem calcular ainda): quando vemos algo da forma \dfrac{\text{derivada de }(\text{algo})}{\text{algo}} ou um denominador simples em função de \cos e um numerador em \sin, uma boa estratégia é fazer a substituição u=\cos(5x). Vou explicar por que isso costuma ajudar: se u=\cos(5x), a derivada du envolve \sin(5x)\,dx (pela regra da cadeia), então o numerador da integral pode se transformar diretamente em du multiplicado por constante, tornando a integral em uma integral racional simples em u.

Passo 3

Calcular a substituição e a diferencial. Definimos
u=\cos(5x).
Agora derivamos ambos os lados em relação a x. Usando a regra da cadeia (a derivada de \cos é -\sin e a derivada de 5x é 5):
\frac{du}{dx} = -5\sin(5x).
Isto implica
du = -5\sin(5x)\,dx.
Isolando \sin(5x)\,dx obtemos
\sin(5x)\,dx = -\frac{1}{5}\,du.
Essa é a relação que vai permitir trocar variáveis na integral.

Passo 4

Fazer a mudança de variável na integral original. Substituindo \sin(5x)\,dx por -\dfrac{1}{5}du e \cos(5x) por u, obtemos
\int \frac{\sin(5x)}{1+\cos(5x)}\,dx = \int \frac{-\dfrac{1}{5}\,du}{1+u} = -\frac{1}{5}\int \frac{1}{1+u}\,du.
Agora a integral está numa forma bem simples em u: é a integral de uma função do tipo 1/(1+u).

Passo 5

Integrar em u. Sabemos que a primitiva de 1/(1+u) é \ln|1+u| porque a derivada de \ln|1+u| é \dfrac{1}{1+u} (pela regra da cadeia a derivada do argumento 1+u é 1). Assim
-\frac{1}{5}\int \frac{1}{1+u}\,du = -\frac{1}{5}\ln|1+u| + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 6

Voltar à variável original x. Lembrando que u=\cos(5x), substituímos:
-\frac{1}{5}\ln|1+u| + C = -\frac{1}{5}\ln\big|1+\cos(5x)\big| + C.
Observação útil: \;1+\cos(5x)=2\cos^2\!\big(\tfrac{5x}{2}\big)\ge 0, então o argumento dentro do log é não negativo e, exceto nos pontos onde é zero, podemos retirar as barras de valor absoluto. No entanto, por segurança na escrita de primitivas usa-se normalmente \ln|\,\cdot\,|.

Passo 7

Checagem rápida por diferenciação (para ganhar confiança): derivando
F(x)=-\frac{1}{5}\ln\big(1+\cos(5x)\big)
temos, pela regra da cadeia,
F'(x)=-\frac{1}{5}\cdot\frac{1}{1+\cos(5x)}\cdot\big(-\sin(5x)\cdot 5\big) =\frac{\sin(5x)}{1+\cos(5x)},
que é exatamente a integranda, então a primitiva está correta.

Resposta

-\dfrac{1}{5}\ln\big|1+\cos(5x)\big|+C

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