Calcule as integrais indefinidas abaixo:
\int \frac{x^{2}+x}{x} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \frac{x^{2}+x}{x}\,dx.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A função integranda é \dfrac{x^{2}+x}{x}.
  • A expressão original está indefinida em x=0 (pois há divisão por zero). Portanto qualquer primitiva que encontrarmos vale em intervalos que não contenham 0.

Passo 2

Primeiro passo prático: simplificar a expressão algébrica antes de integrar. Podemos dividir termo a termo:
\frac{x^{2}+x}{x}=\frac{x^{2}}{x}+\frac{x}{x}.
Como \frac{x^{2}}{x}=x e \frac{x}{x}=1 (para x\neq0), obtemos
\frac{x^{2}+x}{x}=x+1\qquad(x\neq0).
Isso deixa a integral bem mais simples:
\int \frac{x^{2}+x}{x}\,dx=\int (x+1)\,dx.

Passo 3

Usamos a linearidade da integral: a integral da soma é a soma das integrais. Ou seja,
\int (x+1)\,dx=\int x\,dx+\int 1\,dx.
Isso é seguro porque integrar é uma operação linear: \int (a f + b g)\,dx = a\int f\,dx + b\int g\,dx.

Passo 4

Agora aplicamos a regra da potência para integrar \int x\,dx.
Regra da potência: para n\neq -1,
\int x^{n}\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C.
Aqui temos n=1, então
\int x\,dx=\frac{x^{1+1}}{1+1}=\frac{x^{2}}{2}.
Expliquei a regra porque é a ferramenta básica para integrar monômios.

Passo 5

Integramos a constante: \int 1\,dx.
A integral de uma constante a é ax (pois a derivada de ax é a). Então
\int 1\,dx = x.

Passo 6

Juntando os resultados das integrais parciais:
\int (x+1)\,dx=\frac{x^{2}}{2}+x + C,
onde C é a constante de integração. Lembre-se que essa primitiva é válida em qualquer intervalo que não contenha 0 (por exemplo, (-\infty,0) ou (0,\infty)).

Passo 7

Verificação rápida (boa prática na prova): derivando a primitiva encontramos
\frac{d}{dx}\!\left(\frac{x^{2}}{2}+x+C\right)=x+1,
que é igual à expressão simplificada \dfrac{x^{2}+x}{x} para x\neq0. Portanto está correta.

Resposta

\displaystyle \frac{x^{2}}{2}+x+C

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