Calcule as integrais indefinidas abaixo:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- A função integranda é
. - A expressão original está indefinida em
(pois há divisão por zero). Portanto qualquer primitiva que encontrarmos vale em intervalos que não contenham .
Passo 2
Primeiro passo prático: simplificar a expressão algébrica antes de integrar. Podemos dividir termo a termo:
Como
e
(para
), obtemos
Isso deixa a integral bem mais simples:
Passo 3
Usamos a linearidade da integral: a integral da soma é a soma das integrais. Ou seja,
Isso é seguro porque integrar é uma operação linear:
.
Passo 4
Agora aplicamos a regra da potência para integrar
.
Regra da potência: para ,
Regra da potência: para
Aqui temos
, então
Expliquei a regra porque é a ferramenta básica para integrar monômios.
Passo 5
Integramos a constante:
.
A integral de uma constante é
(pois a derivada de
é
). Então
A integral de uma constante
Passo 6
Juntando os resultados das integrais parciais:
onde
é a constante de integração. Lembre-se que essa primitiva é válida em qualquer intervalo que não contenha
(por exemplo,
ou
).
Passo 7
Verificação rápida (boa prática na prova): derivando a primitiva encontramos
que é igual à expressão simplificada
para
. Portanto está correta.