Calcule as integrais indefinidas abaixo: \int \frac{e^{3 x}}{1+e^{3 x}} d x
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \frac{e^{3x}}{1+e^{3x}}\,dx.
Informações dadas: a função integranda é \dfrac{e^{3x}}{1+e^{3x}}. Queremos uma primitiva (antiderivada) dessa função, isto é, uma função F(x) tal que F'(x)=\dfrac{e^{3x}}{1+e^{3x}}. Não há mais condições (constante de integração livre).
Passo 2
Ideia do método (explicação didática): aqui funciona muito bem a técnica de substituição (também chamada de mudança de variável). A razão é simples: o denominador é 1+e^{3x} e o numerador é proporcional à derivada de e^{3x}. A técnica de substituição explora exatamente situações em que temos algo do tipo f'(x)/f(x), que integra para \ln|f(x)| até uma constante. Vou mostrar passo a passo sem pular etapas.
Passo 3
Faço a substituição. Defino a nova variável
u = 1 + e^{3x}.
Agora calculo du em termos de dx. Derivando ambos os lados:
du = \frac{d}{dx}\bigl(1+e^{3x}\bigr)\,dx = 3e^{3x}\,dx.
Isso significa que
e^{3x}\,dx = \frac{1}{3}\,du.
Explicação do passo: transforme o diferencial usando a regra da cadeia; a derivada de e^{3x} é 3e^{3x} porque primeiro deriva-se o exponencial e, pela regra da cadeia, multiplica-se pela derivada do expoente 3x, que é 3.
Aqui usei a expressão encontrada para e^{3x}\,dx e a definição de u no denominador. A integral \int \dfrac{1}{u}\,du é uma primitiva fundamental: sua antiderivada é \ln|u| mais uma constante. Isso vem da regra que diz que \dfrac{d}{du}\ln|u|=\dfrac{1}{u} para u\neq0.
Passo 5
Integrando e voltando à variável original: a integral fica
\frac{1}{3}\ln|u| + C.
Substituindo u=1+e^{3x},
\frac{1}{3}\ln\bigl|1+e^{3x}\bigr| + C.
Comentário sobre o valor absoluto: no caso específico, 1+e^{3x}>0 para todo x (pois e^{3x}>0), então podemos retirar as barras de valor absoluto se quisermos, escrevendo \ln(1+e^{3x}). Para checar que está correto, derivo a expressão: