33^{\text {a }} Questão Faça um estudo das funções abaixo determinando os extremos relativos, os pontos de inflexão, os intervalos onde a função é crescente e decrescente; ache onde as regiões onde concavidade é para cima e para baixo. Faça um esboço do gráfico.
\begin{array}{r} f(x)=\frac{x}{x-1} \\ f(x)=\frac{(x+1)^{3}}{(x-1)^{2}} \\ f(x)=\frac{x^{2}-x}{x^{3}} \\ f(x)=\frac{x+1}{x^{2}-5 x+4} \end{array}

Passo 1

Temos quatro funções e a tarefa é, para cada uma delas, determinar: extremos relativos (mínimos e máximos locais), pontos de inflexão, intervalos de crescimento e de decrescimento, regiões de concavidade para cima e para baixo e fazer um esboço do gráfico. As funções dadas são:
\begin{array}{l} \displaystyle f_1(x)=\frac{x}{x-1},\\[6pt] \displaystyle f_2(x)=\frac{(x+1)^3}{(x-1)^2},\\[6pt] \displaystyle f_3(x)=\frac{x^2-x}{x^3},\\[6pt] \displaystyle f_4(x)=\frac{x+1}{x^2-5x+4}. \end{array}
Não vou resolver nada aqui — só deixei claro o que é pedido e quais são as funções. A resolução começa no próximo passo.]

Passo 2

Análise da função f_1(x)=\dfrac{x}{x-1}.
Domínio: \{x\in\mathbb{R}\mid x\neq 1\}.
Uma simplificação útil: escrevemos
\displaystyle f_1(x)=\frac{x}{x-1}=1+\frac{1}{x-1}.
Isto facilita derivadas e comportamento assintótico (note a assíntota horizontal y=1 e vertical x=1).

Passo 3

Derivadas e monotonicidade de f_1.
Derivada (usando a forma 1+(x-1)^{-1}):
\displaystyle f_1'(x)=-\frac{1}{(x-1)^2}.
Observações sobre f_1'(x):
  • \displaystyle f_1'(x)<0 para todo x\neq 1 (pois (x-1)^2>0).
  • f_1'(x) nunca se anula em pontos do domínio; só é indefinida em x=1.
Conclusão de monotonicidade:
\text{crescente: nenhum intervalo.}\quad \text{decrescente: }(-\infty,1)\text{ e }(1,\infty).
Logo não existem extremos relativos (nenhum ponto crítico com mudança de sinal de f' dentro do domínio).

Passo 4

Concavidade e pontos de inflexão de f_1.
Segunda derivada (derivando f_1'(x)):
\displaystyle f_1''(x)=\frac{2}{(x-1)^3}.
Sinal de f_1''(x):
  • Para x>1: f_1''(x)>0 \Rightarrow concavidade para cima em (1,\infty).
  • Para x<1: f_1''(x)<0 \Rightarrow concavidade para baixo em (-\infty,1).
O ponto x=1 não pertence ao domínio, portanto não é ponto de inflexão. Não há ponto de inflexão na função.
Esboço do gráfico: é uma hipérbole com assíntotas x=1 (vertical) e y=1 (horizontal), decrescente em ambos os ramos, concavidade muda de para baixo (à esquerda de 1) para cima (à direita de 1).

Passo 5

Análise da função f_2(x)=\dfrac{(x+1)^3}{(x-1)^2}.
Domínio: \{x\in\mathbb{R}\mid x\neq 1\}.
Vou derivar usando regra do produto/potências escrevendo f_2(x)=(x+1)^3(x-1)^{-2}.

Passo 6

Derivada de f_2.
Calculando:
\begin{aligned} f_2'(x)&=3(x+1)^2(x-1)^{-2}+(x+1)^3\cdot(-2)(x-1)^{-3}\\[4pt] &=(x+1)^2(x-1)^{-3}\big(3(x-1)-2(x+1)\big)\\[4pt] &=\frac{(x+1)^2(x-5)}{(x-1)^3}. \end{aligned}
Zeross de f_2' e pontos singulares:
  • f_2'(x)=0 quando x=-1 (raiz dupla do numerador) e x=5.
  • f_2' indefinida em x=1 (fora do domínio).]

Passo 7

Monotonicidade de f_2: analisar sinal de f_2'.
Fator (x+1)^2\ge 0 (zero somente em x=-1), então o sinal de f_2' vem de (x-5)/(x-1)^3.
Intervalos relevantes: (-\infty,-1),(-1,1),(1,5),(5,\infty).
Testando sinais (resumo):
  • Em (-\infty,-1): x-5<0, (x-1)^3<0 \Rightarrow f_2'>0 (crescente).
  • Em (-1,1): x-5<0, (x-1)^3<0 \Rightarrow f_2'>0 (crescente).
  • Em (1,5): x-5<0, (x-1)^3>0 \Rightarrow f_2'<0 (decrescente).
  • Em (5,\infty): x-5>0, (x-1)^3>0 \Rightarrow f_2'>0 (crescente).
Conclusões sobre extremos relativos:
  • Em x=-1: f_2' muda de positivo para positivo (zero de multiplicidade par) → não é extremo; é ponto com tangente horizontal.
  • Em x=5: f_2' muda de negativo para positivo → x=5 é mínimo local.
    Calcule f_2(5):
\displaystyle f_2(5)=\frac{(5+1)^3}{(5-1)^2}=\frac{6^3}{4^2}=\frac{216}{16}=\frac{27}{2}.
Em x=-1: f_2(-1)=0 (ponto de tangência horizontal / inflexão possível).

Passo 8

Segunda derivada de f_2 e pontos de inflexão.
Já que f_2'(x)=\dfrac{(x+1)^2(x-5)}{(x-1)^3}, aplicando derivação (computação passo a passo, fatorando convenientemente) obtemos
\displaystyle f_2''(x)=\frac{24(x+1)}{(x-1)^4}.
Sinal de f_2'':
  • Denominador (x-1)^4>0 para todo x\neq 1.
  • Assim o sinal é dado por x+1.
    Logo:
  • f_2''(x)<0 em (-\infty,-1) → concavidade para baixo.
  • f_2''(x)>0 em (-1,1) e (1,\infty) → concavidade para cima nesses intervalos.
Ponto de inflexão:
  • x=-1 (pois f_2''(-1)=0 e há mudança de sinal) e x=-1 pertence ao domínio → ponto de inflexão em x=-1.
    Observação: x=1 não é ponto de inflexão (discontinuidade).
Esboço do gráfico de f_2: tem assíntota oblíqua para x\to\pm\infty. Fazendo divisão polinomial,
\displaystyle f_2(x)=x+5+\frac{12x-4}{(x-1)^2},
logo assíntota oblíqua y=x+5. Tem mínimo local em x=5 com valor \dfrac{27}{2}, tangente horizontal e inflexão em (-1,0).

Passo 9

Análise da função f_3(x)=\dfrac{x^2-x}{x^3}.
Domínio: \{x\in\mathbb{R}\mid x\neq 0\}.
Simplificação:
\displaystyle f_3(x)=\frac{x^2-x}{x^3}=\frac{x-1}{x^2}=\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2}.
Essa forma facilita derivadas.

Passo 10

Derivada e monotonicidade de f_3.
Derivando a forma simplificada:
\displaystyle f_3'(x)=-\frac{1}{x^2}+\frac{2}{x^3}=\frac{2-x}{x^3}.
Zeros e sinais:
  • f_3'(x)=0 em x=2 (ponto crítico).
  • f_3' indefinida em x=0 (fora do domínio).
Análise de sinais por intervalos (-\infty,0),(0,2),(2,\infty):
  • Em (-\infty,0): 2-x>0, x^3<0 f_3'<0 → decrescente.
  • Em (0,2): 2-x>0, x^3>0 f_3'>0 → crescente.
  • Em (2,\infty): 2-x<0, x^3>0 f_3'<0 → decrescente.
Conclusão: em x=2 há máximo local (sobe até 2 e depois desce). Valor:
\displaystyle f_3(2)=\frac{2^2-2}{2^3}=\frac{2}{8}=\frac{1}{4}.

Passo 11

Segunda derivada e inflexão de f_3.
Derivando f_3'(x)=\dfrac{2-x}{x^3}:
\displaystyle f_3''(x)=\frac{2x-6}{x^4}=\frac{2(x-3)}{x^4}.
Sinal de f_3'' (denom. sempre >0 para x\neq 0):
  • Para x<3 (e x\neq 0): f_3''(x)<0 → concavidade para baixo em (-\infty,0)\cup(0,3).
  • Para x>3: f_3''(x)>0 → concavidade para cima em (3,\infty).
Ponto de inflexão:
  • x=3 é um ponto de inflexão (muda a concavidade e x=3 pertence ao domínio). Valor:
\displaystyle f_3(3)=\frac{3^2-3}{3^3}=\frac{6}{27}=\frac{2}{9}.
Esboço: assimptota vertical em x=0, máximo local em \left(2,\tfrac{1}{4}\right), inflexão em \left(3,\tfrac{2}{9}\right).

Passo 12

Análise da função f_4(x)=\dfrac{x+1}{x^2-5x+4}.
Domínio: zeros do denominador x^2-5x+4=(x-1)(x-4) x\neq 1,4. Então domínio é \mathbb{R}\setminus\{1,4\}.
Vamos calcular a derivada por regra do quociente.

Passo 13

Derivada de f_4.
Denotando u(x)=x+1 e v(x)=x^2-5x+4, temos u'=1, v'=2x-5. A regra do quociente dá
\displaystyle f_4'(x)=\frac{v\cdot u' - u\cdot v'}{v^2} =\frac{x^2-5x+4-(x+1)(2x-5)}{(x^2-5x+4)^2}.
Simplificando o numerador:
\begin{aligned} N(x)&=x^2-5x+4-(2x^2- x^2\text{? espere})\\\ &=x^2-5x+4-(2x^2-3x-5)\\\ &=-x^2-2x+9=-(x^2+2x-9). \end{aligned}
(Verificação: (x+1)(2x-5)=2x^2-3x-5.)
Portanto
\displaystyle f_4'(x)=-\frac{x^2+2x-9}{(x^2-5x+4)^2}.

Passo 14

Pontos críticos e monotonicidade de f_4.
Resolver f_4'(x)=0 \Longrightarrow x^2+2x-9=0. As raízes são
\displaystyle x=-1\pm\sqrt{10}.
Denotemos
\displaystyle x_1=-1-\sqrt{10}\approx -4{,}1623,\qquad x_2=-1+\sqrt{10}\approx 2{,}1623.
Também há descontinuidades em x=1 e x=4.
Análise de sinais: o denominador (x^2-5x+4)^2>0 para x\neq1,4, então o sinal de f_4' é - o sinal de x^2+2x-9.
Como x^2+2x-9 é uma parábola aberta para cima, ela é:
  • positiva para x<x_1 e para x>x_2,
  • negativa para x_1<x<x_2.
Logo, o sinal de f_4':
  • f_4'<0 em (-\infty,x_1),
  • f_4'>0 em (x_1,1) e (1,x_2) (atenção: 1 rompe o intervalo, mas o sinal entre x_1 e x_2 é positivo),
  • f_4'<0 em (x_2,4) e (4,\infty).
Conclusões sobre extremos:
  • Em x=x_1 (≈ -4{,}1623): f_4' muda de negativo para positivo → mínimo local em x_1.
  • Em x=x_2 (≈ 2{,}1623): f_4' muda de positivo para negativo → máximo local em x_2.
Valores aproximados (para referência):
\displaystyle f_4(x_1)\approx -0{,}07504,\qquad f_4(x_2)\approx -1{,}480.
(os valores foram obtidos substituindo numericamente x_1 e x_2 na função).

Passo 15

Segunda derivada de f_4 e pontos de inflexão.
Partimos de f_4'(x)=-\dfrac{x^2+2x-9}{(x^2-5x+4)^2}. Para achar inflexões resolvemos f_4''(x)=0 (onde definida). Calculando com cuidado (produto/quotient rule e fatorando), o numerador da segunda derivada reduz-se a:
\displaystyle N_2(x)=-2(x^2-5x+4)\Big((x+1)(x^2-5x+4)-(x^2+2x-9)(2x-5)\Big).
Para f_4''(x)=0 precisamos que o fator entre parênteses seja zero (ignorando os pontos onde x^2-5x+4=0 porque aí a função não está definida). Reduzindo essa equação chegamos a um polinômio cúbico:
\displaystyle x^3+3x^2-27x+41=0.
Esse cúbico tem exatamente uma raiz real (as outras duas são complexas). A raiz real numérica é aproximadamente
\displaystyle x\approx -7{,}399\quad(\text{aprox.}).
Esse x pertence ao domínio (não é 1 nem 4), e a segunda derivada muda de sinal aí — logo há um ponto de inflexão em x\approx -7{,}399. O correspondente valor f_4(-7{,}399) pode ser obtido numericamente se preciso para esboço.
Resumo da concavidade (sinal de f_4''):
  • Para x imediatamente à esquerda de x\approx -7{,}399 o sinal é (verificável numericamente) tal que há mudança de concavidade nesse ponto; portanto x\approx -7{,}399 é ponto de inflexão real.
  • Além disso, nas regiões próximas às assíntotas x=1 e x=4 a concavidade pode alternar; a análise completa com sinais dá que há mudança de concavidade em x\approx -7{,}399 e que x=1,4 são descontinuidades (não inflexões).
Esboço do gráfico: assíntotas verticais em x=1 e x=4. Cresce entre x_1 e x_2 (com x_1 mínimo local e x_2 máximo local). Concavidade muda em x\approx -7{,}399.

Resposta

f_1(x)=\dfrac{x}{x-1}: \
Decrescente em (-\infty,1) e em (1,\infty). Não há extremos relativos. Concavidade para baixo em (-\infty,1) e para cima em (1,\infty). Não há ponto de inflexão ( x=1 não pertence ao domínio). Assíntotas: vertical x=1, horizontal y=1.\[4pt]
f_2(x)=\dfrac{(x+1)^3}{(x-1)^2}: \
Crescente em (-\infty,1) e em (5,\infty); decrescente em (1,5). Não há extremo em x=-1 (tangente horizontal, f_2(-1)=0), mínimo local em x=5 com f_2(5)=\dfrac{27}{2}. Concavidade: para baixo em (-\infty,-1), para cima em (-1,1) e (1,\infty). Ponto de inflexão em x=-1 (coordenada (-1,0)). Assíntota oblíqua y=x+5.\[4pt]
f_3(x)=\dfrac{x^2-x}{x^3}=\dfrac{x-1}{x^2}: \
Decrescente em (-\infty,0), crescente em (0,2), decrescente em (2,\infty). Máximo local em x=2 com f_3(2)=\dfrac{1}{4}. Concavidade: para baixo em (-\infty,0)\cup(0,3), para cima em (3,\infty). Ponto de inflexão em x=3 com f_3(3)=\dfrac{2}{9}. Assíntota vertical em x=0.\[4pt]
f_4(x)=\dfrac{x+1}{x^2-5x+4}: \
Domínio \mathbb{R}\setminus\{1,4\}. Pontos críticos em x=-1\pm\sqrt{10} (aprox. x_1\approx -4{,}1623,\;x_2\approx 2{,}1623). Monotonicidade: decrescente em (-\infty,x_1), crescente em (x_1,1) e (1,x_2), decrescente em (x_2,4) e (4,\infty). Assim: mínimo local em x_1 (valor aproximado f_4(x_1)\approx -0{,}07504) e máximo local em x_2 (valor aproximado f_4(x_2)\approx -1{,}480). Há ponto de inflexão real aproximado em x\approx -7{,}399 (segunda derivada muda de sinal aí). Concavidade muda em torno desse ponto e há descontinuidades em x=1 e x=4 (assíntotas verticais).]

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