Questão Faça um estudo das funções abaixo determinando os extremos relativos, os pontos de inflexão, os intervalos onde a função é crescente e decrescente; ache onde as regiões onde concavidade é para cima e para baixo. Faça um esboço do gráfico.
Passo 1
Temos quatro funções e a tarefa é, para cada uma delas, determinar: extremos relativos (mínimos e máximos locais), pontos de inflexão, intervalos de crescimento e de decrescimento, regiões de concavidade para cima e para baixo e fazer um esboço do gráfico. As funções dadas são:
Não vou resolver nada aqui — só deixei claro o que é pedido e quais são as funções. A resolução começa no próximo passo.]
Passo 2
Análise da função
.
Domínio:
.
Uma simplificação útil: escrevemos
Isto facilita derivadas e comportamento assintótico (note a assíntota horizontal
e vertical
).
Passo 3
Derivadas e monotonicidade de
.
Derivada (usando a forma
):
Observações sobre
:
-
para todo (pois ). -
nunca se anula em pontos do domínio; só é indefinida em .
Conclusão de monotonicidade:
Logo não existem extremos relativos (nenhum ponto crítico com mudança de sinal de
dentro do domínio).
Passo 4
Concavidade e pontos de inflexão de
.
Segunda derivada (derivando
):
Sinal de
:
- Para
: concavidade para cima em . - Para
: concavidade para baixo em .
O ponto
não pertence ao domínio, portanto não é ponto de inflexão. Não há ponto de inflexão na função.
Esboço do gráfico: é uma hipérbole com assíntotas
(vertical) e
(horizontal), decrescente em ambos os ramos, concavidade muda de para baixo (à esquerda de
) para cima (à direita de
).
Passo 5
Análise da função
.
Domínio:
.
Vou derivar usando regra do produto/potências escrevendo
.
Passo 6
Derivada de
.
Calculando:
Zeross de
e pontos singulares:
-
quando (raiz dupla do numerador) e . -
indefinida em (fora do domínio).]
Passo 7
Monotonicidade de
: analisar sinal de
.
Fator
(zero somente em
), então o sinal de
vem de
.
Intervalos relevantes:
.
Testando sinais (resumo):
- Em
: , (crescente). - Em
: , (crescente). - Em
: , (decrescente). - Em
: , (crescente).
Conclusões sobre extremos relativos:
- Em
: muda de positivo para positivo (zero de multiplicidade par) → não é extremo; é ponto com tangente horizontal. - Em
: muda de negativo para positivo → é mínimo local.
Calcule:
Em
:
(ponto de tangência horizontal / inflexão possível).
Passo 8
Segunda derivada de
e pontos de inflexão.
Já que
, aplicando derivação (computação passo a passo, fatorando convenientemente) obtemos
Sinal de
:
- Denominador
para todo . - Assim o sinal é dado por
.
Logo: -
em → concavidade para baixo. -
em e → concavidade para cima nesses intervalos.
Ponto de inflexão:
-
(pois e há mudança de sinal) e pertence ao domínio → ponto de inflexão em .
Observação:não é ponto de inflexão (discontinuidade).
Esboço do gráfico de
: tem assíntota oblíqua para
. Fazendo divisão polinomial,
logo assíntota oblíqua
. Tem mínimo local em
com valor
, tangente horizontal e inflexão em
.
Passo 9
Análise da função
.
Domínio:
.
Simplificação:
Essa forma facilita derivadas.
Passo 10
Derivada e monotonicidade de
.
Derivando a forma simplificada:
Zeros e sinais:
-
em (ponto crítico). -
indefinida em (fora do domínio).
Análise de sinais por intervalos
:
- Em
: , → → decrescente. - Em
: , → → crescente. - Em
: , → → decrescente.
Conclusão: em
há máximo local (sobe até
e depois desce). Valor:
Passo 11
Segunda derivada e inflexão de
.
Derivando
:
Sinal de
(denom. sempre
para
):
- Para
(e ): → concavidade para baixo em . - Para
: → concavidade para cima em .
Ponto de inflexão:
-
é um ponto de inflexão (muda a concavidade e pertence ao domínio). Valor:
Esboço: assimptota vertical em
, máximo local em
, inflexão em
.
Passo 12
Análise da função
.
Domínio: zeros do denominador
→
. Então domínio é
.
Vamos calcular a derivada por regra do quociente.
Passo 13
Derivada de
.
Denotando
e
, temos
,
. A regra do quociente dá
Simplificando o numerador:
(Verificação:
.)
Portanto
Passo 14
Pontos críticos e monotonicidade de
.
Resolver
. As raízes são
Denotemos
Também há descontinuidades em
e
.
Análise de sinais: o denominador
para
, então o sinal de
é
o sinal de
.
Como
é uma parábola aberta para cima, ela é:
- positiva para
e para , - negativa para
.
Logo, o sinal de
:
-
em , -
em e (atenção: 1 rompe o intervalo, mas o sinal entre e é positivo), -
em e .
Conclusões sobre extremos:
- Em
(≈ ): muda de negativo para positivo → mínimo local em . - Em
(≈ ): muda de positivo para negativo → máximo local em .
Valores aproximados (para referência):
(os valores foram obtidos substituindo numericamente
e
na função).
Passo 15
Segunda derivada de
e pontos de inflexão.
Partimos de
. Para achar inflexões resolvemos
(onde definida). Calculando com cuidado (produto/quotient rule e fatorando), o numerador da segunda derivada reduz-se a:
Para
precisamos que o fator entre parênteses seja zero (ignorando os pontos onde
porque aí a função não está definida). Reduzindo essa equação chegamos a um polinômio cúbico:
Esse cúbico tem exatamente uma raiz real (as outras duas são complexas). A raiz real numérica é aproximadamente
Esse
pertence ao domínio (não é
nem
), e a segunda derivada muda de sinal aí — logo há um ponto de inflexão em
. O correspondente valor
pode ser obtido numericamente se preciso para esboço.
Resumo da concavidade (sinal de
):
- Para
imediatamente à esquerda de o sinal é (verificável numericamente) tal que há mudança de concavidade nesse ponto; portanto é ponto de inflexão real. - Além disso, nas regiões próximas às assíntotas
e a concavidade pode alternar; a análise completa com sinais dá que há mudança de concavidade em e que são descontinuidades (não inflexões).
Esboço do gráfico: assíntotas verticais em
e
. Cresce entre
e
(com
mínimo local e
máximo local). Concavidade muda em
.
Resposta
Decrescente em
e em
. Não há extremos relativos. Concavidade para baixo em
e para cima em
. Não há ponto de inflexão (
não pertence ao domínio). Assíntotas: vertical
, horizontal
.\[4pt]
Crescente em
e em
; decrescente em
. Não há extremo em
(tangente horizontal,
), mínimo local em
com
. Concavidade: para baixo em
, para cima em
e
. Ponto de inflexão em
(coordenada
). Assíntota oblíqua
.\[4pt]
Decrescente em
, crescente em
, decrescente em
. Máximo local em
com
. Concavidade: para baixo em
, para cima em
. Ponto de inflexão em
com
. Assíntota vertical em
.\[4pt]
Domínio