Calcule as integrais indefinidas abaixo: integral(2 x-3)^3 dx

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral: integral(2x-3)^3 dx. Estamos lidando com cálculo, mais especificamente integração. Para resolver isso, vamos precisar usar a técnica de substituição, que é super útil quando temos uma função composta, como (2x - 3)^3.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma parte da função para fazer a substituição. Olha só, dentro do parêntese temos 2x - 3. Vamos chamar isso de u para simplificar:
u = 2x - 3
Agora, precisamos achar a derivada de u em relação a x para substituir o dx:
dudx = 2 Rightarrow du = 2,dx Rightarrow dx = du2

Passo 3

Substituímos u e dx na integral original:
integral(2x-3)^3 dx = integral u^3 cdot du2 = 12 integral u^3 du

Passo 4

Agora, vamos integrar u^3 em relação a u. A regra de integração para u^n é:
integral u^n du = u^n+1n+1 + C
Aplicando isso:
12 integral u^3 du = 12 cdot u^44 + C = u^48 + C

Passo 5

Agora, vamos voltar para a variável original x substituindo u = 2x - 3:
u^48 + C = (2x - 3)^48 + C

Resposta

A integral indefinida de (2x - 3)^3 em relação a x é:
integral(2x-3)^3 dx = (2x - 3)^48 + C

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