Determine
para
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o limite de um vetor
quando
tende ao infinito. Esse tipo de problema está relacionado ao cálculo de limites em funções vetoriais. Para resolver, vamos analisar cada componente do vetor individualmente e aplicar algumas regras básicas de limites.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para a primeira componente do vetor:
. Isso significa
. Quando
cresce sem parar,
fica cada vez maior, então
vai ficando cada vez menor, se aproximando de 0. Matemática simples, certo?
Passo 3
Agora, a segunda componente é
. Aqui, à medida que
aumenta,
também aumenta e, consequentemente, a raiz quadrada de um número que cresce tende a crescer sem limite. Ou seja,
vai para o infinito conforme
vai para infinito.
Passo 4
A terceira componente é
, que é o logaritmo natural de
. Sabemos que o logaritmo de
também cresce sem limite à medida que
aumenta. Portanto,
tende ao infinito quando
vai para infinito.
Resposta
Assim, o limite de
quando
tende ao infinito é: