Calcule as integrais indefinidas:
\int \frac{x-1}{\sqrt{9-x^{2}}} d x. Sugestão: \frac{x-1}{\sqrt{9-x^{2}}}=\frac{x}{\sqrt{9-x^{2}}}-\frac{1}{\sqrt{9-x^{2}}}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \frac{x-1}{\sqrt{9-x^{2}}}\,dx
O conteúdo principal é integrar funções do tipo \displaystyle \frac{x}{\sqrt{a^{2}-x^{2}}} e \displaystyle \frac{1}{\sqrt{a^{2}-x^{2}}}. Vamos usar a sugestão de decompor o integrando em duas parcelas.

Passo 2

Usando a sugestão, escrevemos
\frac{x-1}{\sqrt{9-x^{2}}} = \frac{x}{\sqrt{9-x^{2}}} - \frac{1}{\sqrt{9-x^{2}}}
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\int \frac{x-1}{\sqrt{9-x^{2}}}\,dx = \int \frac{x}{\sqrt{9-x^{2}}}\,dx - \int \frac{1}{\sqrt{9-x^{2}}}\,dx.

Passo 3

Para a primeira integral, observamos que
\frac{d}{dx}\bigl(\sqrt{9-x^{2}}\bigr) = -\frac{x}{\sqrt{9-x^{2}}}.
Portanto
\int \frac{x}{\sqrt{9-x^{2}}}\,dx = -\sqrt{9-x^{2}} + C_{1}.

Passo 4

Para a segunda integral, usamos a fórmula padrão
\int \frac{dx}{\sqrt{a^{2}-x^{2}}} = \arcsin\!\bigl(\tfrac{x}{a}\bigr) + C.
Aqui a=3, então
\int \frac{1}{\sqrt{9-x^{2}}}\,dx = \arcsin\!\bigl(\tfrac{x}{3}\bigr) + C_{2}.

Passo 5

Combinando os resultados e juntando as constantes C_{1}-C_{2} numa única C, temos
\int \frac{x-1}{\sqrt{9-x^{2}}}\,dx = -\sqrt{9-x^{2}} \;-\; \arcsin\!\bigl(\tfrac{x}{3}\bigr) \;+\; C.

Resposta

-\sqrt{9-x^{2}} \;-\; \arcsin\!\bigl(\tfrac{x}{3}\bigr) \;+\; C.

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