Calcule as integrais indefinidas:
Resposta:
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral indefinida
. Aqui estamos trabalhando com cálculo integral, especificamente integrando funções racionais, que são frações onde tanto o numerador quanto o denominador são polinômios. Para resolver, vamos precisar simplificar a fração e usar técnicas de decomposição em frações parciais.
Passo 2
Primeiro, vamos dividir o polinômio do numerador pelo denominador para simplificar a integrand. Isso porque o grau do numerador (
) é igual ao grau do denominador (
).
Aqui, subtraímos
do numerador
, o que nos dá
como o novo numerador.
Passo 3
Agora, a integral fica:
A primeira integral é simples de resolver, e a segunda vamos trabalhar com ela usando frações parciais.
Passo 4
Vamos fatorar o denominador
:
Então, nossa fração fica:
Agora, vamos decompor essa fração em frações parciais.
Passo 5
Assumimos que:
Multiplicando ambos os lados por
para eliminar os denominadores:
Passo 6
Vamos encontrar os valores de
e
. Escolhemos valores de
que simplificam a equação:
Para
:
Para
:
Passo 7
Substituindo
e
na decomposição:
Passo 8
Agora, voltamos à integral original:
Integrando termo a termo: