Beleza, vamos resolver a integral indefinida . Esse exercício faz parte do estudo de Cálculo Integral, especificamente sobre como integrar funções racionais. Para resolver isso, vamos precisar usar o método de frações parciais, que nos ajuda a simplificar integrais de funções que são frações onde o grau do numerador é menor que o do denominador.
Passo 2
Primeiro, observe que o denominador b^2 - a^2x^2 = (b - a x)(b + a x) pode ser fatorado como uma diferença de quadrados. Vamos fatorar:
Isso nos ajuda a decompor a fração em termos mais simples.
Passo 3
Agora, aplicamos a decomposição em frações parciais. Queremos escrever:
1b^2 - a^2x^2 = Ab - a x + Bb + a x
Onde e são constantes que precisamos encontrar.
Passo 4
Multiplicamos ambos os lados da igualdade pelo denominador comum 1 = A(b + a x) + B(b - a x) para eliminar as frações:
Passo 5
Agora, expandimos e agrupamos os termos:
1 = A b + A a x + B b - B a x
1 = b(A + B) + a x (A - B)
Passo 6
Para que essa igualdade seja válida para todo b(A + B) = 1 a(A - B) = 0 , os coeficientes dos termos correspondentes devem ser iguais. Assim, temos o seguinte sistema de equações:
Passo 7
Resolvendo o segundo membro A - B = 0 implies A = B :
b(A + A) = 1 implies 2bA = 1 implies A = 12b
Substituímos na primeira equação:
Portanto, .
Passo 8
Agora, substituímos 1b^2 - a^2x^2 = 12b(b - a x) + 12b(b + a x) e na decomposição inicial:
Passo 9
Podemos reescrever essa expressão para facilitar a integração:
12b ( 1b - a x + 1b + a x )
Passo 10
Agora, integramos cada termo separadamente:
integral 12b ( 1b - a x + 1b + a x ) , dx = 12b ( integral 1b - a x , dx + integral 1b + a x , dx )
Passo 11
Resolvemos cada integral usando a regra básica integral 1b - a x , dx = -1a ln|b - a x| + C , considerando uma substituição simples:
integral 1b + a x , dx = 1a ln|b + a x| + C
Passo 12
Substituímos de volta na expressão:
12b ( -1a ln|b - a x| + 1a ln|b + a x| ) + C
Passo 13
Fatoramos 12ab ( ln|b + a x| - ln|b - a x| ) + C e simplificamos:
12ab ln|b + a xb - a x| + C
Usando a propriedade dos logaritmos , temos:
Resposta
A integral indefinida é:
integral 1b^2-a^2 x^2 , dx = 12 a b ln |b+a xb-a x| + C