Calcule as integrais indefinidas
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
Informações dadas e o que é pedido:
- A expressão dentro da integral é a soma de duas funções de
: e . - Deve-se encontrar uma primitiva (ou família de primitivas) dessa função, ou seja, uma função
tal que é igual ao integrando. - Lembrete: ao final inclui-se uma constante de integração
.
Passo 2
Primeiro passo prático: reescrever as raízes como potências fracionárias — isso facilita muito o uso da regra de potências para integrar. Lembranças úteis:
-
. -
.
Aplicando isso ao integrando:
Portanto a integral fica
Passo 3
Usar a linearidade da integral: a integral da soma é a soma das integrais, e constantes podem sair da integral. Em símbolos:
Isto é permitido porque a operação de integração é linear.
Passo 4
Apresentar a regra de potência para integrais (essencial aqui) e explicá-la:
- Regra: para qualquer
,
O que isso significa: para integrar
, aumenta-se o expoente em
(isto é, passa-se para
) e divide-se pelo novo expoente
. A constante
aparece porque integrais indefinidas têm uma família de primitivas que diferem por uma constante.
Breve justificativa (intuição): a derivada de é
, então essa formula produz a função cuja derivada é
.
Breve justificativa (intuição): a derivada de
Passo 5
Aplicar a regra ao primeiro termo
.
Aqui . Então
.
Usando a regra:
Aqui
Usando a regra:
Dividir por
é o mesmo que multiplicar por
, então
Voltando à notação de raiz:
, logo este termo é
.
Passo 6
Aplicar a regra ao segundo termo
.
Aqui . Então
.
Pelo fórmula:
Aqui
Pelo fórmula:
Multiplicando pela constante externa
:
Se preferir em forma de raiz:
, então este termo também pode ser escrito como
.
Passo 7
Juntando os dois resultados (e combinando as constantes
e
numa única constante
):
Opcionalmente, em notação com raiz:
Comentário final: sempre inclua a constante de integração
. Se for preciso, pode fatorar
como fator comum:
mas a forma anterior é mais direta.