Calcule as integrais indefinidas
\int\left(\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{x \sqrt{x}}{3}\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int\left(\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{x \sqrt{x}}{3}\right)\,dx.
Informações dadas e o que é pedido:
  • A expressão dentro da integral é a soma de duas funções de x: \dfrac{1}{\sqrt{x}} e \dfrac{x\sqrt{x}}{3}.
  • Deve-se encontrar uma primitiva (ou família de primitivas) dessa função, ou seja, uma função F(x) tal que F'(x) é igual ao integrando.
  • Lembrete: ao final inclui-se uma constante de integração C.

Passo 2

Primeiro passo prático: reescrever as raízes como potências fracionárias — isso facilita muito o uso da regra de potências para integrar. Lembranças úteis:
  • \sqrt{x} = x^{1/2}.
  • \dfrac{1}{\sqrt{x}} = x^{-1/2}.
Aplicando isso ao integrando:
\frac{1}{\sqrt{x}} = x^{-1/2}, \qquad x\sqrt{x} = x\cdot x^{1/2} = x^{1+1/2}=x^{3/2}.
Portanto a integral fica
\int\left(x^{-1/2}+\frac{1}{3}x^{3/2}\right)\,dx.

Passo 3

Usar a linearidade da integral: a integral da soma é a soma das integrais, e constantes podem sair da integral. Em símbolos:
\int\left(x^{-1/2}+\frac{1}{3}x^{3/2}\right)\,dx = \int x^{-1/2}\,dx + \frac{1}{3}\int x^{3/2}\,dx.
Isto é permitido porque a operação de integração é linear.

Passo 4

Apresentar a regra de potência para integrais (essencial aqui) e explicá-la:
  • Regra: para qualquer n\neq -1,
\int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}+C.
O que isso significa: para integrar x^{n}, aumenta-se o expoente em 1 (isto é, passa-se para n+1) e divide-se pelo novo expoente n+1. A constante C aparece porque integrais indefinidas têm uma família de primitivas que diferem por uma constante.
Breve justificativa (intuição): a derivada de \dfrac{x^{n+1}}{n+1} é \dfrac{n+1}{n+1}x^{n}=x^{n}, então essa formula produz a função cuja derivada é x^{n}.

Passo 5

Aplicar a regra ao primeiro termo \int x^{-1/2}\,dx.
Aqui n=-\tfrac{1}{2}. Então n+1 = -\tfrac{1}{2}+1 = \tfrac{1}{2}.
Usando a regra:
\int x^{-1/2}\,dx = \frac{x^{1/2}}{1/2} + C_1.
Dividir por 1/2 é o mesmo que multiplicar por 2, então
\int x^{-1/2}\,dx = 2x^{1/2} + C_1.
Voltando à notação de raiz: x^{1/2}=\sqrt{x}, logo este termo é 2\sqrt{x}.

Passo 6

Aplicar a regra ao segundo termo \dfrac{1}{3}\int x^{3/2}\,dx.
Aqui n=\tfrac{3}{2}. Então n+1=\tfrac{3}{2}+1=\tfrac{5}{2}.
Pelo fórmula:
\int x^{3/2}\,dx = \frac{x^{5/2}}{5/2}+C_2 = \frac{2}{5}x^{5/2}+C_2.
Multiplicando pela constante externa \dfrac{1}{3}:
\frac{1}{3}\int x^{3/2}\,dx = \frac{1}{3}\cdot\frac{2}{5}x^{5/2} = \frac{2}{15}x^{5/2}.
Se preferir em forma de raiz: x^{5/2}=x^{2}\,x^{1/2}=x^{2}\sqrt{x}, então este termo também pode ser escrito como \dfrac{2}{15}x^{2}\sqrt{x}.

Passo 7

Juntando os dois resultados (e combinando as constantes C_1 e C_2 numa única constante C):
\int\left(\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{x\sqrt{x}}{3}\right)\,dx = 2x^{1/2} + \frac{2}{15}x^{5/2} + C.
Opcionalmente, em notação com raiz:
2\sqrt{x} + \frac{2}{15}x^{2}\sqrt{x} + C.
Comentário final: sempre inclua a constante de integração C. Se for preciso, pode fatorar 2\sqrt{x} como fator comum:
2\sqrt{x}\left(1+\frac{1}{15}x^{2}\right)+C,
mas a forma anterior é mais direta.

Resposta

2\sqrt{x}+\frac{2}{15}x^{5/2}+C

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