Diga se a equação é verdadeira ou falsa.
Resposta: Falsa
Passo 1
O que o enunciado pede: decidir se a igualdade
é verdadeira ou falsa. Informações importantes dadas implicitamente: as raízes quadradas aqui são as raízes principais, portanto estamos a trabalhar com números reais não negativos, ou seja é necessário que
e
para que os termos façam sentido em
.
Passo 2
Uma maneira rápida de ver se uma identidade é falsa é testar com um contraexemplo numérico simples. Tome
e
. Então:
enquanto
Como
, a igualdade falha para este exemplo. Portanto a igualdade não é verdadeira para todos os
.
Passo 3
Agora vamos entender de forma algébrica quando (se) a igualdade poderia ocorrer. Suponha que a igualdade valha para certos
. Ambos os lados são não negativos, então podemos elevar ambos ao quadrado sem alterar a equivalência:
Desenvolvendo o quadrado do lado direito:
Igualando e simplificando:
Daí segue
.
Passo 4
Interpretação da etapa anterior: a condição necessária (e suficiente, dada a definição de
em
) para que
seja verdadeira é que
. Ou seja, pelo menos um entre
e
deve ser zero. Verificação da suficiência: se
então
, e similar se
.
Passo 5
Complemento útil: para quaisquer
vale sempre a desigualdade
porque, elevando ao quadrado,
. A desigualdade é estrita salvo quando
(ou seja, quando
).
Resposta
Falsa