Diga se a equação é verdadeira ou falsa.
\sqrt{a+b}=\sqrt{a}+\sqrt{b} Resposta: Falsa

Passo 1

O que o enunciado pede: decidir se a igualdade \sqrt{a+b}=\sqrt{a}+\sqrt{b} é verdadeira ou falsa. Informações importantes dadas implicitamente: as raízes quadradas aqui são as raízes principais, portanto estamos a trabalhar com números reais não negativos, ou seja é necessário que a\ge0 e b\ge0 para que os termos façam sentido em \mathbb{R}.

Passo 2

Uma maneira rápida de ver se uma identidade é falsa é testar com um contraexemplo numérico simples. Tome \,a=1 e \,b=1. Então:
\sqrt{a+b}=\sqrt{1+1}=\sqrt{2}\approx1{,}4142,
enquanto
\sqrt{a}+\sqrt{b}=\sqrt{1}+\sqrt{1}=1+1=2.
Como \sqrt{2}\neq2, a igualdade falha para este exemplo. Portanto a igualdade não é verdadeira para todos os a,b\ge0.

Passo 3

Agora vamos entender de forma algébrica quando (se) a igualdade poderia ocorrer. Suponha que a igualdade valha para certos a,b\ge0. Ambos os lados são não negativos, então podemos elevar ambos ao quadrado sem alterar a equivalência:
a+b = \bigl(\sqrt{a}+\sqrt{b}\bigr)^2.
Desenvolvendo o quadrado do lado direito:
\bigl(\sqrt{a}+\sqrt{b}\bigr)^2 = a + b + 2\sqrt{ab}.
Igualando e simplificando:
a+b = a+b+2\sqrt{ab}\quad\Longrightarrow\quad 0 = 2\sqrt{ab}\quad\Longrightarrow\quad \sqrt{ab}=0.
Daí segue \,ab=0.

Passo 4

Interpretação da etapa anterior: a condição necessária (e suficiente, dada a definição de \sqrt{\cdot} em \mathbb{R}_{\ge0}) para que \sqrt{a+b}=\sqrt{a}+\sqrt{b} seja verdadeira é que ab=0. Ou seja, pelo menos um entre a e b deve ser zero. Verificação da suficiência: se b=0 então \sqrt{a+0}=\sqrt{a}=\sqrt{a}+\sqrt{0}, e similar se a=0.

Passo 5

Complemento útil: para quaisquer a,b\ge0 vale sempre a desigualdade
\sqrt{a+b}\le \sqrt{a}+\sqrt{b},
porque, elevando ao quadrado, (\sqrt{a}+\sqrt{b})^2=a+b+2\sqrt{ab}\ge a+b. A desigualdade é estrita salvo quando \sqrt{ab}=0 (ou seja, quando ab=0).

Resposta

Falsa

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