Calcule as integrais
\int \frac{2 x^{2}+3 x+8}{x\left(x^{2}+4\right)} d x=

Passo 1

O enunciado pede a integral
\int \frac{2x^{2} + 3x + 8}{x\,(x^{2}+4)} \,dx
Isto é uma função racional cujo denominador já está fatorado como x\,(x^{2}+4). Para resolver, vamos usar decomposição em frações parciais e em seguida aplicar as fórmulas básicas \displaystyle \int \frac{1}{x}\,dx = \ln\lvert x\rvert + C
e \displaystyle \int \frac{1}{x^{2}+a^{2}}\,dx = \frac{1}{a}\arctan\!\bigl(\tfrac{x}{a}\bigr) + C.

Passo 2

Assumimos a forma
\frac{2x^{2}+3x+8}{x(x^{2}+4)} = \frac{A}{x} + \frac{Bx + C}{x^{2}+4}.
Multiplicando ambos os lados por x(x^{2}+4)\), obtemos \[2x^{2}+3x+8 = A(x^{2}+4) + (Bx+C)\,x.
Expandindo o lado direito:
A x^{2} + 4A + Bx^{2} + Cx = (A+B)\,x^{2} + C\,x + 4A.
Igualando coeficientes em x^{2}, x e termo constante, vem o sistema
\begin{cases} A + B = 2,\\\ C = 3,\\\\ 4A = 8. \end{cases}
Daqui tiramos A = 2\], \(B = 2 - A = 0 e C = 3.

Passo 3

Substituindo A, B e C na decomposição, a integral vira
\int \Bigl(\frac{2}{x} + \frac{3}{x^{2}+4}\Bigr)\,dx = 2\int \frac{1}{x}\,dx \;+\; 3\int \frac{1}{x^{2}+4}\,dx.
Agora aplicamos as fórmulas conhecidas:
2\int \frac{1}{x}\,dx = 2\ln\lvert x\rvert,
\int \frac{1}{x^{2}+4}\,dx = \int \frac{1}{x^{2} + 2^{2}}\,dx = \frac{1}{2}\arctan\!\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr).
Multiplicando por 3 dá
3\int \frac{1}{x^{2}+4}\,dx = \frac{3}{2}\arctan\!\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr).

Resposta

2\ln\lvert x\rvert \;+\; \frac{3}{2}\arctan\!\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr) + C

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