Calcule as integrais
\int \frac{x^{3}}{x^{2}-9} d x=

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral indefinida
\int \frac{x^{3}}{x^{2}-9}\,dx.
O conteúdo principal aqui é simplificar o integrando por divisão polinomial e depois aplicar substituição para resolver a parte racional.

Passo 2

Fazendo a divisão de x^{3} por (x^{2}-9), temos
x^{3} = x\,(x^{2}-9) + 9x
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\frac{x^{3}}{x^{2}-9} = x + \frac{9x}{x^{2}-9}.

Passo 3

Com isso a integral se separa em duas partes:
\int \frac{x^{3}}{x^{2}-9}\,dx = \int x\,dx \;+\; 9\int \frac{x}{x^{2}-9}\,dx.

Passo 4

A primeira parte é imediata:
\int x\,dx = \frac{x^{2}}{2}.

Passo 5

Na segunda parte usamos a substituição \displaystyle u = x^{2}-9, assim \displaystyle du = 2x\,dx e \displaystyle x\,dx = \frac{du}{2}.
Portanto,
9\int \frac{x}{x^{2}-9}\,dx = 9\int \frac{1}{u}\,\frac{du}{2} = \frac{9}{2}\int \frac{du}{u} = \frac{9}{2}\ln\bigl|u\bigr| = \frac{9}{2}\ln\bigl|x^{2}-9\bigr|.

Passo 6

Somando as duas partes, obtemos
\int \frac{x^{3}}{x^{2}-9}\,dx = \frac{x^{2}}{2} + \frac{9}{2}\ln\bigl|x^{2}-9\bigr| + C,
onde C é a constante de integração.

Resposta

\frac{x^{2}}{2} + \frac{9}{2}\ln\bigl|x^{2}-9\bigr| + C

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