Calcule as integrais:
\int_{\gamma} e^{z} d z onde \gamma(t)=i t, 0 \leq t \leq 1

Passo 1

O enunciado dá a integral de linha
\int_{\gamma} e^{z}\,dz
com a curva parametrizada por \gamma(t)=i t, para 0 \le t \le 1.
Informações relevantes que temos:
  • A curva começa em \gamma(0)=0 e termina em \gamma(1)=i.
  • A função integranda é e^{z}.
    A pergunta é: calcular o valor numérico (complexo) da integral \int_{\gamma} e^{z}\,dz.

Passo 2

Regra prática para integrar funções complexas por parametrização: se \gamma é dada por \gamma:[a,b]\to\mathbb{C}, então
\int_{\gamma} f(z)\,dz = \int_a^b f\big(\gamma(t)\big)\,\gamma'(t)\,dt.
Aqui dz é entendido como \gamma'(t)\,dt ao passar para a variável real t. A integral à direita é uma integral usual de uma função complexa de t (regra de integração vale da mesma forma que no caso real).

Passo 3

Vamos aplicar a parametrização ao nosso caso. Primeiro calculamos a derivada da parametrização:
\gamma(t)=i t \quad\Rightarrow\quad \gamma'(t)=i.
Em seguida substituímos z=\gamma(t)=i t na função e^{z}:
e^{\gamma(t)} = e^{i t}.
Portanto o integrando transformado é
f(\gamma(t))\,\gamma'(t) = e^{i t}\cdot i = i\,e^{i t}.

Passo 4

Agora calculamos a integral real de t:
\int_{\gamma} e^{z}\,dz = \int_{0}^{1} i\,e^{i t}\,dt = i\int_{0}^{1} e^{i t}\,dt.
Para integrar e^{i t} usamos que a derivada de e^{i t} é i e^{i t}, logo uma primitiva de e^{i t} é \dfrac{1}{i}e^{i t}. Assim
i\int_{0}^{1} e^{i t}\,dt = i\left[\frac{1}{i}e^{i t}\right]_{0}^{1} = i\cdot\frac{1}{i}\big(e^{i}-e^{0}\big).
Como i\cdot\frac{1}{i}=1 e e^{0}=1, obtemos
\int_{\gamma} e^{z}\,dz = e^{i}-1.

Passo 5

(Uma observação conceitual rápida, para fixar o entendimento.) A mesma resposta pode ser obtida por um argumento mais curto: e^{z} é inteira (tem primitiva global E(z)=e^{z}), portanto a integral entre dois pontos z_0 e z_1 independe do caminho e vale E(z_1)-E(z_0). Aqui z_0=0 e z_1=i, logo o resultado é e^{i}-e^{0}=e^{i}-1. As duas abordagens coincidem.

Passo 6

Se quiser escrever a resposta em partes real e imaginária, use a fórmula de Euler e^{i}= \cos(1)+i\sin(1). Assim
e^{i}-1 = \big(\cos(1)-1\big) + i\sin(1).
Bom trabalho — essa integral é um exemplo clássico de como primitiva e parametrização funcionam bem em integrales complexas.

Resposta

e^{i}-1

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