Calcule as integrais:
onde
Passo 1
O enunciado dá a integral de linha
com a curva parametrizada por
, para
.
Informações relevantes que temos:
Informações relevantes que temos:
- A curva começa em
e termina em . - A função integranda é
.
A pergunta é: calcular o valor numérico (complexo) da integral.
Passo 2
Regra prática para integrar funções complexas por parametrização: se
é dada por
, então
Aqui
é entendido como
ao passar para a variável real
. A integral à direita é uma integral usual de uma função complexa de
(regra de integração vale da mesma forma que no caso real).
Passo 3
Vamos aplicar a parametrização ao nosso caso. Primeiro calculamos a derivada da parametrização:
Em seguida substituímos
na função
:
Portanto o integrando transformado é
Passo 4
Agora calculamos a integral real de
:
Para integrar
usamos que a derivada de
é
, logo uma primitiva de
é
. Assim
Como
e
, obtemos
Passo 5
(Uma observação conceitual rápida, para fixar o entendimento.) A mesma resposta pode ser obtida por um argumento mais curto:
é inteira (tem primitiva global
), portanto a integral entre dois pontos
e
independe do caminho e vale
. Aqui
e
, logo o resultado é
. As duas abordagens coincidem.
Passo 6
Se quiser escrever a resposta em partes real e imaginária, use a fórmula de Euler
. Assim
Bom trabalho — essa integral é um exemplo clássico de como primitiva e parametrização funcionam bem em integrales complexas.