Calcule as integrais:
\int_{0}^{3} \int_{0}^{4}\left(2 x+3 x^{2} y\right) d y d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral dupla
\int_{0}^{3}\int_{0}^{4}\left(2x+3x^{2}y\right)\,dy\,dx.
Informações dadas:
  • Os limites são x indo de 0 a 3 e, para cada x, y vai de 0 a 4.
  • A função integranda é 2x+3x^{2}y.
    O que será feito: primeiro calcular a integral interna em y (com x tratado como constante), depois integrar o resultado em x.

Passo 2

Regra usada: a integral de uma soma é a soma das integrais e constantes em relação a y podem sair da integral. Em símbolos:
\int_{0}^{4}\left(2x+3x^{2}y\right)\,dy = \int_{0}^{4}2x\,dy+\int_{0}^{4}3x^{2}y\,dy.
Aqui x é visto como constante ao integrar em y.

Passo 3

Calcular cada integral em y.
  • Para \int 2x\,dy: como 2x é constante em y,
\int 2x\,dy = 2x\cdot y.
  • Para \int 3x^{2}y\,dy: usar a regra da potência \int y\,dy = \dfrac{y^{2}}{2}, então
\int 3x^{2}y\,dy = 3x^{2}\cdot\frac{y^{2}}{2}=\frac{3}{2}x^{2}y^{2}.
Portanto uma primitiva em y da integranda é
2x y+\frac{3}{2}x^{2}y^{2}.

Passo 4

Avaliar a primitiva entre y=0 e y=4:
\left. \Big(2x y+\frac{3}{2}x^{2}y^{2}\Big)\right|_{0}^{4} = \Big(2x\cdot 4 + \frac{3}{2}x^{2}\cdot 4^{2}\Big) - 0.
Calcular os termos:
2x\cdot 4 = 8x, \qquad \frac{3}{2}x^{2}\cdot 16 = \frac{3\cdot 16}{2}x^{2}=24x^{2}.
Logo a integral interna dá
\int_{0}^{4}\left(2x+3x^{2}y\right)\,dy = 8x+24x^{2}.

Passo 5

Agora integrar esse resultado em x de 0 a 3:
\int_{0}^{3}\big(8x+24x^{2}\big)\,dx = \int_{0}^{3}8x\,dx+\int_{0}^{3}24x^{2}\,dx.
Usar a regra da potência \int x^{n}\,dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}:
\int 8x\,dx = 8\cdot\frac{x^{2}}{2}=4x^{2}, \qquad \int 24x^{2}\,dx = 24\cdot\frac{x^{3}}{3}=8x^{3}.
Uma primitiva total é 4x^{2}+8x^{3}.

Passo 6

Avaliar entre x=0 e x=3:
\left. \big(4x^{2}+8x^{3}\big)\right|_{0}^{3} = \big(4\cdot 3^{2} + 8\cdot 3^{3}\big)-0.
Calcular:
4\cdot 3^{2}=4\cdot 9=36, \qquad 8\cdot 3^{3}=8\cdot 27=216.
Somando:
36+216=252.

Resposta

252

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