Calcule as integrais:
\int_{0}^{1} \int_{0}^{2-2 x}\left(y+3 x y+y^{2}\right) d y d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral iterada
\int_{0}^{1}\int_{0}^{2-2x}\left(y+3xy+y^{2}\right)\,dy\,dx.
Informações dadas:
  • A variável interna (primeira a ser integrada) é y com limite inferior 0 e limite superior 2-2x.
  • A variável externa é x com limite inferior 0 e limite superior 1.
  • A função a integrar é y+3xy+y^{2}.
O que se pede: encontrar o valor numérico dessa integral dupla iterada.

Passo 2

Estratégia (simples e direta): calcular primeiro a integral interna em y tratando x como constante, obter uma expressão em função de x, e depois integrar essa expressão em x de 0 a 1.
Antes de calcular, vamos rever as regras básicas de integração que vamos usar (sem pânico — é só aplicar fórmulas diretas):
  • Linearidade: \displaystyle\int (f(y)+g(y))\,dy = \int f(y)\,dy + \int g(y)\,dy.
  • Constante fora da integral: se c não depende de y, \displaystyle\int c\cdot f(y)\,dy = c\int f(y)\,dy.
  • Regra do poder (para exponentes inteiros): \displaystyle\int y^{n}\,dy = \frac{y^{n+1}}{n+1} para n\neq -1.
Aplicando isso ao nosso integrando, cada termo será integrado separadamente em relação a y.

Passo 3

Calcular a primitiva em y do integrando \,y+3xy+y^{2}\, (aqui x é constante):
Usando linearidade e a regra do poder:
\int\left(y+3xy+y^{2}\right)\,dy = \int y\,dy + \int 3x y\,dy + \int y^{2}\,dy.
Agora cada termo:
\int y\,dy = \frac{y^{2}}{2}, \qquad \int 3x y\,dy = 3x\cdot\frac{y^{2}}{2} = \frac{3}{2}x y^{2}, \qquad \int y^{2}\,dy = \frac{y^{3}}{3}.
Portanto uma antiderivada em y é
F(y)=\frac{y^{2}}{2}+\frac{3}{2}x y^{2}+\frac{y^{3}}{3}.

Passo 4

Avaliar a integral interna usando os limites y=0 e y=2-2x:
I(x)=F(2-2x)-F(0).
Como F(0)=0, temos
I(x)=\frac{(2-2x)^{2}}{2}+\frac{3}{2}x(2-2x)^{2}+\frac{(2-2x)^{3}}{3}.
Para simplificar, observe 2-2x=2(1-x). Então
(2-2x)^{2}=4(1-x)^{2},\qquad (2-2x)^{3}=8(1-x)^{3}.
Substituindo:
I(x)=\frac{4(1-x)^{2}}{2}+\frac{3}{2}x\cdot 4(1-x)^{2}+\frac{8(1-x)^{3}}{3}.
Simplificando os coeficientes:
I(x)=2(1-x)^{2}+6x(1-x)^{2}+\frac{8}{3}(1-x)^{3}.

Passo 5

Agrupar termos para facilitar a integração em x. Fatorando (1-x)^{2}:
I(x)=(1-x)^{2}\left(2+6x+\frac{8}{3}(1-x)\right).
Simplificando o parêntese interno:
2+6x+\frac{8}{3}(1-x)=2+6x+\frac{8}{3}-\frac{8}{3}x = \frac{14}{3}+\frac{10}{3}x.
Logo
I(x)=\frac{1}{3}(14+10x)(1-x)^{2}.
Para integrar facilmente, vamos expandir I(x). Primeiro expandir (1-x)^{2}=1-2x+x^{2} e multiplicar:
(14+10x)(1-2x+x^{2})=14-18x-6x^{2}+10x^{3}.
Dividindo por 3:
I(x)=\frac{14}{3}-6x-2x^{2}+\frac{10}{3}x^{3}.

Passo 6

Agora integrar I(x) de 0 a 1:
\int_{0}^{1} I(x)\,dx = \int_{0}^{1}\left(\frac{14}{3}-6x-2x^{2}+\frac{10}{3}x^{3}\right)\,dx.
Calcular a antiderivada em x:
H(x)=\frac{14}{3}x-6\cdot\frac{x^{2}}{2}-2\cdot\frac{x^{3}}{3}+\frac{10}{3}\cdot\frac{x^{4}}{4}.
Simplificando coeficientes:
H(x)=\frac{14}{3}x-3x^{2}-\frac{2}{3}x^{3}+\frac{5}{6}x^{4}.

Passo 7

Avaliar H(x) em x=1 e x=0:
\int_{0}^{1}I(x)\,dx = H(1)-H(0).
Como H(0)=0, basta H(1):
H(1)=\frac{14}{3}-3-\frac{2}{3}+\frac{5}{6}.
Somar os termos: \dfrac{14}{3}-\dfrac{2}{3}=\dfrac{12}{3}=4, então
H(1)=4-3+\frac{5}{6}=1+\frac{5}{6}=\frac{11}{6}.
Portanto a integral dupla vale \dfrac{11}{6}.

Resposta

\dfrac{11}{6}

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