Calcule as integrais:
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral iterada
Informações dadas:
- A variável interna (primeira a ser integrada) é
com limite inferior e limite superior . - A variável externa é
com limite inferior e limite superior . - A função a integrar é
.
O que se pede: encontrar o valor numérico dessa integral dupla iterada.
Passo 2
Estratégia (simples e direta): calcular primeiro a integral interna em
tratando
como constante, obter uma expressão em função de
, e depois integrar essa expressão em
de
a
.
Antes de calcular, vamos rever as regras básicas de integração que vamos usar (sem pânico — é só aplicar fórmulas diretas):
- Linearidade:
. - Constante fora da integral: se
não depende de , . - Regra do poder (para exponentes inteiros):
para .
Aplicando isso ao nosso integrando, cada termo será integrado separadamente em relação a
.
Passo 3
Calcular a primitiva em
do integrando
(aqui
é constante):
Usando linearidade e a regra do poder:
Agora cada termo:
Portanto uma antiderivada em
é
Passo 4
Avaliar a integral interna usando os limites
e
:
Como
, temos
Para simplificar, observe
. Então
Substituindo:
Simplificando os coeficientes:
Passo 5
Agrupar termos para facilitar a integração em
. Fatorando
:
Simplificando o parêntese interno:
Logo
Para integrar facilmente, vamos expandir
. Primeiro expandir
e multiplicar:
Dividindo por
:
Passo 6
Agora integrar
de
a
:
Calcular a antiderivada em
:
Simplificando coeficientes:
Passo 7
Avaliar
em
e
:
Como
, basta
:
Somar os termos:
, então
Portanto a integral dupla vale
.