Calcule as integrais nos
\int_{0}^{1}\left[t^{3} \mathbf{i}+7 \mathbf{j}+(t+1) \mathbf{k}\right] d t

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral do campo vetorial \mathbf{F}(t)=t^{3}\mathbf{i}+7\mathbf{j}+(t+1)\mathbf{k}
no intervalo de t de 0 a 1. Vamos usar que a integral de um vetor é feita componente a componente.

Passo 2

Integramos a componente \mathbf{i}, que é t^{3}. Pela regra de potência:
\int_{0}^{1}t^{3}\,dt=\left[\frac{t^{4}}{4}\right]_{0}^{1}=\frac{1}{4}.

Passo 3

Para a componente \mathbf{j}, é constante 7. Logo,
\int_{0}^{1}7\,dt=\left[7t\right]_{0}^{1}=7.

Passo 4

Na componente \mathbf{k}, a função é t+1. Integramos termo a termo:
\int_{0}^{1}(t+1)\,dt=\left[\frac{t^{2}}{2}+t\right]_{0}^{1} =\frac{1}{2}+1=\frac{3}{2}.

Resposta

\int_{0}^{1}\bigl[t^{3}\mathbf{i}+7\mathbf{j}+(t+1)\mathbf{k}\bigr]dt =\frac{1}{4}\mathbf{i}+7\mathbf{j}+\frac{3}{2}\mathbf{k}.

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