Encontre o instante (ou os instantes), ao intervalo de tempo dado, em que os vetores velocidade e aceleração são ortogonais.
\mathbf{r}(t)=(t-\operatorname{sen} t) \mathbf{i}+(1-\cos t) \mathbf{j}, \quad 0 \leq t \leq 2 \pi

Passo 1

O enunciado nos dá a trajetória
\mathbf{r}(t) = (t - \sin t)\,\mathbf{i} + (1 - \cos t)\,\mathbf{j},\quad 0 \le t \le 2\pi,
e pede os instantes em que o vetor velocidade \mathbf{v}(t) é ortogonal ao vetor aceleração \mathbf{a}(t). O conteúdo aqui é cálculo de derivadas de funções vetoriais e uso do produto escalar para testar ortogonalidade.

Passo 2

Primeiro calculamos o vetor velocidade como derivada de \mathbf{r}(t):
\mathbf{v}(t) = \mathbf{r}'(t) = \bigl(1 - \cos t\bigr)\,\mathbf{i} + \bigl(\sin t\bigr)\,\mathbf{j}.
Em seguida, a aceleração é a derivada de \mathbf{v}(t):
\mathbf{a}(t) = \mathbf{v}'(t) = \bigl(\sin t\bigr)\,\mathbf{i} + \bigl(\cos t\bigr)\,\mathbf{j}.

Passo 3

Do conceito de produto escalar sabemos que dois vetores são ortogonais se, e somente se, seu produto escalar for zero. Calculamos
\mathbf{v}(t)\cdot \mathbf{a}(t) = (1 - \cos t)\,\sin t \;+\;\sin t\,\cos t = \sin t\,\bigl(1 - \cos t + \cos t\bigr) = \sin t.

Passo 4

Para ter \mathbf{v}(t)\cdot \mathbf{a}(t)=0 precisamos de
\sin t = 0.
No intervalo 0 \le t \le 2\pi, as soluções são
t = 0,\quad t = \pi,\quad t = 2\pi.

Resposta

0,\;\pi,\;2\pi

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