Calcule as integrais:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
Informações dadas:
Passo 2
Vamos usar uma identidade trigonométrica que transforma potências de seno em funções mais fáceis de integrar. A identidade que precisamos vem da fórmula do cosseno do ângulo duplo. Lembre:
Como
, podemos escrever
. Substituindo em
,
Desse modo isolamos
:
Essa identidade é muito útil porque troca uma potência por uma combinação de termos lineares (constante e cosseno), fáceis de integrar.
Passo 3
Substituímos a identidade na integral:
Agora temos duas integrais simples:
e
.
Passo 4
Integramos termo a termo.
Primeiro,
Primeiro,
Segundo, para
podemos usar uma substituição simples ou lembrar a regra
. Vou mostrar a substituição para ficar bem claro: seja
, então
e
. Assim
Voltando à expressão completa:
Passo 5
Podemos escrever a primitiva em outra forma equivalente usando
. Substituindo:
Portanto uma forma alternativa é
Para checar, podemos derivar a primitiva
: a derivada de
é
e a derivada de
é
. Somando:
o que confirma que a primitiva está correta.
Passo 6
Resumo final: a primitiva geral de
é
onde
é a constante de integração. Boa! Você já tem a técnica padrão para integrar potências pares de seno ou cosseno: usar as identidades de redução de potência.