Calcule as integrais:
\int \sin ^{2} x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \sin^{2} x\, dx.
Informações dadas:
\text{integrando: }\sin^{2} x,\qquad\text{variável de integração: }x,\qquad\text{resultado: primitiva geral (com constante }C\text{).}áçã

Passo 2

Vamos usar uma identidade trigonométrica que transforma potências de seno em funções mais fáceis de integrar. A identidade que precisamos vem da fórmula do cosseno do ângulo duplo. Lembre:
\cos 2x = \cos^{2}x - \sin^{2}x.
Como \cos^{2}x+\sin^{2}x=1, podemos escrever \cos^{2}x=1-\sin^{2}x. Substituindo em \cos 2x,
\cos 2x = (1-\sin^{2}x) - \sin^{2}x = 1 - 2\sin^{2}x.
Desse modo isolamos \sin^{2}x:
\sin^{2}x = \frac{1 - \cos 2x}{2}.
Essa identidade é muito útil porque troca uma potência por uma combinação de termos lineares (constante e cosseno), fáceis de integrar.

Passo 3

Substituímos a identidade na integral:
\int \sin^{2}x\,dx = \int \frac{1 - \cos 2x}{2}\,dx = \frac{1}{2}\int 1\,dx - \frac{1}{2}\int \cos 2x\,dx.
Agora temos duas integrais simples: \int 1\,dx e \int \cos 2x\,dx.

Passo 4

Integramos termo a termo.
Primeiro,
\frac{1}{2}\int 1\,dx = \frac{1}{2}x.
Segundo, para \int \cos 2x\,dx podemos usar uma substituição simples ou lembrar a regra \int \cos(ax)\,dx = \frac{1}{a}\sin(ax). Vou mostrar a substituição para ficar bem claro: seja u=2x, então du=2\,dx e dx=\frac{du}{2}. Assim
\int \cos 2x\,dx = \int \cos u\cdot \frac{du}{2} = \frac{1}{2}\int \cos u\,du = \frac{1}{2}\sin u = \frac{1}{2}\sin(2x).
Voltando à expressão completa:
\frac{1}{2}x - \frac{1}{2}\cdot\left(\frac{1}{2}\sin 2x\right) + C = \frac{x}{2} - \frac{\sin 2x}{4} + C.

Passo 5

Podemos escrever a primitiva em outra forma equivalente usando \sin 2x = 2\sin x\cos x. Substituindo:
- \frac{\sin 2x}{4} = -\frac{1}{4}\cdot 2\sin x\cos x = -\frac{1}{2}\sin x\cos x.
Portanto uma forma alternativa é
\frac{x}{2} - \frac{1}{2}\sin x\cos x + C.
Para checar, podemos derivar a primitiva \frac{x}{2} - \frac{\sin 2x}{4}: a derivada de \frac{x}{2} é \frac{1}{2} e a derivada de -\frac{\sin 2x}{4} é -\frac{1}{4}\cdot 2\cos 2x = -\frac{1}{2}\cos 2x. Somando:
\frac{1}{2} - \frac{1}{2}\cos 2x = \frac{1-\cos 2x}{2} = \sin^{2}x,
o que confirma que a primitiva está correta.

Passo 6

Resumo final: a primitiva geral de \sin^{2}x é
\frac{x}{2} - \frac{\sin 2x}{4} + C,
onde C é a constante de integração. Boa! Você já tem a técnica padrão para integrar potências pares de seno ou cosseno: usar as identidades de redução de potência.

Resposta

\displaystyle \frac{x}{2}-\frac{\sin 2x}{4}+C

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