Aplique substituições em funções do tipo exponencial ou trigonométrica composta.
\int e^{\sin x} \cos x d x

Passo 1

O enunciado pede que calculemos a integral indefinida
\int e^{\sin x}\cos x\,dx.
Informações dadas:
  • A função integranda é e^{\sin x}\cos x.
  • Trata-se de uma integral indefinida (não há limites de integração).
  • O objetivo é obter uma primitiva (uma função F(x) tal que F'(x)=e^{\sin x}\cos x) mais constante de integração.

Passo 2

Vamos observar a forma do integrando cuidadosamente. Temos um expoente \sin x dentro de e^{(\cdot)} e um fator multiplicando fora que é \cos x. É útil identificar uma parte da expressão cuja derivada aparece multiplicando-a. Aqui, a função \sin x tem derivada \cos x. Isto sugere que podemos usar uma substituição que transforme a composição em algo mais simples. Não vou resolver ainda — só estou explicando por que essa observação é relevante.

Passo 3

Definimos a substituição
u=\sin x.
Agora calculamos a diferencial dessa substituição: derivando ambos os lados em relação a x,
\frac{du}{dx}=\cos x \quad\Rightarrow\quad du=\cos x\,dx.
Explicação didática: quando fazemos u=\sin x, du representa a pequena variação de u para uma pequena variação de x; a relação du=\cos x\,dx vem da regra de derivação da função seno. Isso é exatamente o que precisamos porque o integrando contém o fator \cos x\,dx.

Passo 4

Agora substituímos na integral original as expressões em termos de u. Temos:
  • e^{\sin x} vira e^{u},
  • \cos x\,dx vira du.
    Portanto a integral transforma-se em uma integral em u:
\int e^{\sin x}\cos x\,dx = \int e^{u}\,du.
Comentário didático: a ideia da substituição é trocar uma integral complicada em x por uma integral mais simples em u. Aqui conseguimos eliminar a composição porque a derivada de \sin x aparece multiplicando.

Passo 5

Calculemos a integral em u. A primitiva de e^{u} é e^{u} (pois \frac{d}{du}e^{u}=e^{u}). Assim,
\int e^{u}\,du = e^{u}+C,
onde C é a constante de integração. Explicação didática: a função exponencial é especial porque ela é igual à sua própria derivada, por isso sua antiderivada é ela mesma.

Passo 6

Voltamos para a variável original x substituindo u=\sin x na primitiva encontrada:
e^{u}+C = e^{\sin x}+C.
Portanto uma primitiva da integranda é e^{\sin x}+C.

Passo 7

Verificação (muito útil na prova): derivando a resposta obtemos
\frac{d}{dx}\bigl(e^{\sin x}+C\bigr)=e^{\sin x}\cdot\cos x,
porque aplicamos a regra da cadeia: derivada de e^{\sin x} é e^{\sin x} vezes a derivada de \sin x, que é \cos x. Isso confirma que nossa primitiva está correta. Dica prática para a prova: quando você tiver \int e^{f(x)}f'(x)\,dx, a primitiva é e^{f(x)}+C; o mesmo vale para \int g'(x)e^{g(x)}\,dx.

Resposta

\,e^{\sin x}+C

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