Aplique substituições em funções do tipo exponencial ou trigonométrica composta.
Passo 1
O enunciado pede que calculemos a integral indefinida
Informações dadas:
- A função integranda é
. - Trata-se de uma integral indefinida (não há limites de integração).
- O objetivo é obter uma primitiva (uma função
tal que ) mais constante de integração.
Passo 2
Vamos observar a forma do integrando cuidadosamente. Temos um expoente
dentro de
e um fator multiplicando fora que é
. É útil identificar uma parte da expressão cuja derivada aparece multiplicando-a. Aqui, a função
tem derivada
. Isto sugere que podemos usar uma substituição que transforme a composição em algo mais simples. Não vou resolver ainda — só estou explicando por que essa observação é relevante.
Passo 3
Definimos a substituição
Agora calculamos a diferencial dessa substituição: derivando ambos os lados em relação a
,
Explicação didática: quando fazemos
,
representa a pequena variação de
para uma pequena variação de
; a relação
vem da regra de derivação da função seno. Isso é exatamente o que precisamos porque o integrando contém o fator
.
Passo 4
Agora substituímos na integral original as expressões em termos de
. Temos:
-
vira , -
vira .
Portanto a integral transforma-se em uma integral em:
Comentário didático: a ideia da substituição é trocar uma integral complicada em
por uma integral mais simples em
. Aqui conseguimos eliminar a composição porque a derivada de
aparece multiplicando.
Passo 5
Calculemos a integral em
. A primitiva de
é
(pois
). Assim,
onde
é a constante de integração. Explicação didática: a função exponencial é especial porque ela é igual à sua própria derivada, por isso sua antiderivada é ela mesma.
Passo 6
Voltamos para a variável original
substituindo
na primitiva encontrada:
Portanto uma primitiva da integranda é
.
Passo 7
Verificação (muito útil na prova): derivando a resposta obtemos
porque aplicamos a regra da cadeia: derivada de
é
vezes a derivada de
, que é
. Isso confirma que nossa primitiva está correta. Dica prática para a prova: quando você tiver
, a primitiva é
; o mesmo vale para
.