A variável de integração externa é x com limites 0\le x\le 2.
Para cada x fixo, a variável interna é y com limites x^{2}\le y\le 2x.
A função integranda é f(x,y)=x^{3}+4y.
O que se pede: calcular o valor numérico desta integral dupla (avaliar a integral iterada).
Passo 2
Breve explicação do procedimento que será usado (sem complicar): a integral está dada em forma iterada \displaystyle\int_{0}^{2}\big(\int_{x^{2}}^{2x}(\cdot)\,dy\big)\,dx. Isso significa que, para cada x fixo, primeiro calculamos a integral em y (a integral interna), obtendo uma expressão em x; depois integramos essa expressão em x sobre [0,2]. As variáveis representam:
x: variável que será integrada por último, varia em [0,2].
y: variável integrada primeiro, varia entre y=x^{2} e y=2x.
Vamos então calcular explicitamente a integral interna e, depois, a integral externa.
Passo 3
Calcular a integral interna em y:
\int_{x^{2}}^{2x}\left(x^{3}+4y\right)\,dy
Separe em duas integrais lineares (uma propriedade básica das integrais: integral da soma = soma das integrais):
Resultado final e pequena interpretação: a integral dupla sobre a região dada vale \dfrac{32}{3}. Isso significa que a soma (integral) do valor da função f(x,y)=x^{3}+4y sobre o domínio definido por 0\le x\le 2 e x^{2}\le y\le 2x é \dfrac{32}{3}. Se quiser, pode conferir rapidamente trocando a ordem de integração (método alternativo), mas o cálculo direto feito acima é o mais direto dado o enunciado.