Calcule as integrais:
\int_{0}^{2} \int_{x^{2}}^{2 x}\left(x^{3}+4 y\right) d y d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral iterada
\int_{0}^{2} \int_{x^{2}}^{2x}\left(x^{3}+4 y\right)\,dy\,dx.
Informações dadas:
  • A variável de integração externa é x com limites 0\le x\le 2.
  • Para cada x fixo, a variável interna é y com limites x^{2}\le y\le 2x.
  • A função integranda é f(x,y)=x^{3}+4y.
    O que se pede: calcular o valor numérico desta integral dupla (avaliar a integral iterada).

Passo 2

Breve explicação do procedimento que será usado (sem complicar): a integral está dada em forma iterada \displaystyle\int_{0}^{2}\big(\int_{x^{2}}^{2x}(\cdot)\,dy\big)\,dx. Isso significa que, para cada x fixo, primeiro calculamos a integral em y (a integral interna), obtendo uma expressão em x; depois integramos essa expressão em x sobre [0,2]. As variáveis representam:
  • x: variável que será integrada por último, varia em [0,2].
  • y: variável integrada primeiro, varia entre y=x^{2} e y=2x.
    Vamos então calcular explicitamente a integral interna e, depois, a integral externa.

Passo 3

Calcular a integral interna em y:
\int_{x^{2}}^{2x}\left(x^{3}+4y\right)\,dy
Separe em duas integrais lineares (uma propriedade básica das integrais: integral da soma = soma das integrais):
\int_{x^{2}}^{2x}x^{3}\,dy \;+\; \int_{x^{2}}^{2x}4y\,dy.
Agora calcular cada parte:
  • Para a primeira, x^{3} é constante em relação a y, logo
\int_{x^{2}}^{2x}x^{3}\,dy = x^{3}\big[y\big]_{y=x^{2}}^{y=2x} = x^{3}\big(2x - x^{2}\big).
Expanda essa expressão:
x^{3}(2x - x^{2}) = 2x^{4} - x^{5}.
  • Para a segunda,
\int_{x^{2}}^{2x}4y\,dy = 4\cdot\frac{y^{2}}{2}\Big|_{y=x^{2}}^{y=2x} = 2\big((2x)^{2} - (x^{2})^{2}\big).
Calcule os quadrados e simplifique:
2\big(4x^{2} - x^{4}\big) = 8x^{2} - 2x^{4}.
Somando as duas partes:
(2x^{4} - x^{5}) + (8x^{2} - 2x^{4}) = -x^{5} + 8x^{2}.
Portanto a integral interna avaliada dá a função de x
\int_{x^{2}}^{2x}\left(x^{3}+4y\right)\,dy = -x^{5} + 8x^{2}.

Passo 4

Agora calcular a integral externa em x:
\int_{0}^{2}\big(-x^{5} + 8x^{2}\big)\,dx.
Encontre uma primitiva (antiderivada) termo a termo:
  • Uma primitiva de -x^{5} é -\dfrac{x^{6}}{6}.
  • Uma primitiva de 8x^{2} é 8\cdot\dfrac{x^{3}}{3}=\dfrac{8x^{3}}{3}.
    Logo uma primitiva da soma é
-\dfrac{x^{6}}{6} + \dfrac{8x^{3}}{3}.
Avalie entre x=0 e x=2:
\left(-\dfrac{x^{6}}{6} + \dfrac{8x^{3}}{3}\right)\Bigg|_{0}^{2} = \left(-\dfrac{2^{6}}{6} + \dfrac{8\cdot 2^{3}}{3}\right) - 0.
Calcule os termos numéricos:
-\dfrac{2^{6}}{6} = -\dfrac{64}{6},\qquad \dfrac{8\cdot 2^{3}}{3}=\dfrac{8\cdot 8}{3}=\dfrac{64}{3}.
Some-os (colocando em denominador comum 6):
-\dfrac{64}{6} + \dfrac{64}{3} = -\dfrac{64}{6} + \dfrac{128}{6} = \dfrac{64}{6}.
Simplifique a fração:
\dfrac{64}{6} = \dfrac{32}{3}.

Passo 5

Resultado final e pequena interpretação: a integral dupla sobre a região dada vale \dfrac{32}{3}. Isso significa que a soma (integral) do valor da função f(x,y)=x^{3}+4y sobre o domínio definido por 0\le x\le 2 e x^{2}\le y\le 2x é \dfrac{32}{3}. Se quiser, pode conferir rapidamente trocando a ordem de integração (método alternativo), mas o cálculo direto feito acima é o mais direto dado o enunciado.

Resposta

\dfrac{32}{3}

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