Calcule as integrais:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral iterada
Informações dadas:
- A integral interna é em
, com limites até . - A integral externa é em
, com limites até . - A função integranda é a constante
(ou seja, vale para todo no domínio). - O domínio de integração é o retângulo no plano
definido por e .
O que é pedido: calcular o valor numérico dessa integral dupla/iterada.
Passo 2
Entendendo o significado da integral iterada e a estratégia:
- A integral iterada
significa: primeiro integrar a função em relação a , mantendo fixo; depois integrar o resultado em relação a . - Quando a integranda é uma constante em relação à variável de integração, a integral é muito direta: integrar uma constante é multiplicar a constante pela largura do intervalo de integração. Vou explicar isso com calma no próximo passo.
Passo 3
Regra básica usada (explicação didática):
- Regra: para qualquer constante
e variável ,
onde
é a constante de integração (em integrais definidas não precisamos manter
).
- Isso vem do fato de que a derivada de
em relação a é . Aqui . - Aplicando isso a uma integral definida no intervalo
,
Isto é: integra-se a constante multiplicando pelo comprimento do intervalo.
Passo 4
Calcular a integral interna (integral em
):
- A integral interna é
. - Usando a regra anterior com
e ,
- Observação: o resultado é uma função de
. Como a integranda era constante e não dependia de , o resultado da integral interna é simplesmente o número (independente de ).
Passo 5
Calcular a integral externa (integral em
):
- Agora precisamos calcular
. - Novamente é uma integral de uma constante em relação a
. Aplicando a mesma regra,
Passo 6
Interpretação geométrica (checagem rápida, útil para prova):
- A integral dupla de uma função constante
sobre um retângulo com lados de comprimento e vale . - Aqui
e . Logo , que confere com o cálculo feito pelas integrais iteradas.