Calcule as integrais:
\int_{1}^{3} \int_{2}^{5} 4 d x d y

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral iterada
\int_{1}^{3}\int_{2}^{5} 4\,dx\,dy.
Informações dadas:
  • A integral interna é em x, com limites x=2 até x=5.
  • A integral externa é em y, com limites y=1 até y=3.
  • A função integranda é a constante 4 (ou seja, vale 4 para todo (x,y) no domínio).
  • O domínio de integração é o retângulo no plano (x,y) definido por 2\le x\le5 e 1\le y\le3.
O que é pedido: calcular o valor numérico dessa integral dupla/iterada.

Passo 2

Entendendo o significado da integral iterada e a estratégia:
  • A integral iterada \int_{1}^{3}\int_{2}^{5}4\,dx\,dy significa: primeiro integrar a função 4 em relação a x, mantendo y fixo; depois integrar o resultado em relação a y.
  • Quando a integranda é uma constante em relação à variável de integração, a integral é muito direta: integrar uma constante é multiplicar a constante pela largura do intervalo de integração. Vou explicar isso com calma no próximo passo.

Passo 3

Regra básica usada (explicação didática):
  • Regra: para qualquer constante c e variável t,
\int c\,dt = c t + C,
onde C é a constante de integração (em integrais definidas não precisamos manter C).
  • Isso vem do fato de que a derivada de c t em relação a t é c. Aqui c=4.
  • Aplicando isso a uma integral definida no intervalo [a,b],
\int_{a}^{b} c\,dt = \bigl[c t\bigr]_{t=a}^{t=b} = c(b-a).
Isto é: integra-se a constante multiplicando pelo comprimento do intervalo.

Passo 4

Calcular a integral interna (integral em x):
  • A integral interna é \displaystyle \int_{2}^{5}4\,dx.
  • Usando a regra anterior com c=4 e t=x,
\int_{2}^{5}4\,dx = \bigl[4x\bigr]_{x=2}^{x=5} = 4\cdot5 - 4\cdot2 = 20 - 8 = 12.
  • Observação: o resultado é uma função de y. Como a integranda era constante e não dependia de y, o resultado da integral interna é simplesmente o número 12 (independente de y).

Passo 5

Calcular a integral externa (integral em y):
  • Agora precisamos calcular \displaystyle \int_{1}^{3} 12\,dy.
  • Novamente é uma integral de uma constante em relação a y. Aplicando a mesma regra,
\int_{1}^{3}12\,dy = \bigl[12y\bigr]_{y=1}^{y=3} = 12\cdot3 - 12\cdot1 = 36 - 12 = 24.

Passo 6

Interpretação geométrica (checagem rápida, útil para prova):
  • A integral dupla de uma função constante f(x,y)=4 sobre um retângulo R com lados de comprimento \Delta x e \Delta y vale 4\cdot(\Delta x)\cdot(\Delta y).
  • Aqui \Delta x = 5-2 = 3 e \Delta y = 3-1 = 2. Logo 4\cdot3\cdot2 = 24, que confere com o cálculo feito pelas integrais iteradas.

Resposta

\;24\;

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