Calcule as integrais . Faça um esboço da região de integração. e .
Passo 1
Beleza, vamos ver o que a questão está pedindo. A gente precisa calcular a integral dupla , onde e a região de integração é definida por . Além disso, precisamos fazer um esboço dessa região. Vamos usar cálculo integral e fazer umas mudanças de variável para facilitar a resolução.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região de integração . A equação descreve uma elipse. Para fazer o esboço, podemos reescrever essa equação na forma padrão da elipse:
Isso mostra que a elipse tem eixo maior no eixo com comprimento 6 e eixo menor no eixo com comprimento . Então, o esboço é uma elipse centrada na origem, mais alta no eixo e mais estreita no eixo .
Passo 3
Agora, vamos calcular a integral dupla. A função parece complicada, mas podemos simplificar fazendo uma mudança de variável. Vamos definir:
Com essa substituição, a região fica:
Que é um círculo de raio 3 no plano .
Passo 4
Precisamos calcular o Jacobiano dessa transformação para ajustar a integral. O Jacobiano é dado por:
Então, .
Passo 5
Agora, reescrevemos a integral original em termos de integral duplaB e^y^2 + 2x^2 , dx , dy = integral duplau^2 + v^2 <= 9 e^v^2 + u^2 cdot 1raiz2 , du , dv e 1raiz2 integral duplau^2 + v^2 <= 9 e^u^2 + v^2 , du , dv :
Isso simplifica para:
Passo 6
Para resolver essa integral, vamos usar coordenadas polares no plano 1raiz2 integral0^2pi integral0^3 e^r^2 cdot r , dr , dtheta . Onde e , com variando de 0 a 3 e de 0 a . A integral fica: