Calcule as integrais integral duplaB f(x, y) d x d y. Faça um esboço da região de integração.
f(x, y)=e^y^2+2 x^2 e B: 2 x^2+y^2 <= 9.

Passo 1

Beleza, vamos ver o que a questão está pedindo. A gente precisa calcular a integral dupla , onde e a região de integração é definida por . Além disso, precisamos fazer um esboço dessa região. Vamos usar cálculo integral e fazer umas mudanças de variável para facilitar a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região de integração x^2(3raiz2)^2 + y^23^2 <= 1 . A equação descreve uma elipse. Para fazer o esboço, podemos reescrever essa equação na forma padrão da elipse:
Isso mostra que a elipse tem eixo maior no eixo com comprimento 6 e eixo menor no eixo com comprimento . Então, o esboço é uma elipse centrada na origem, mais alta no eixo e mais estreita no eixo .

Passo 3

Agora, vamos calcular a integral dupla. A função u = xraiz2, v = y parece complicada, mas podemos simplificar fazendo uma mudança de variável. Vamos definir:
u^2 + v^2 <= 9
Com essa substituição, a região fica:
Que é um círculo de raio 3 no plano .

Passo 4

Precisamos calcular o Jacobiano dessa transformação para ajustar a integral. O Jacobiano J = partial xpartial u & partial xpartial v partial ypartial u & partial ypartial v = 1raiz2 & 0 0 & 1 = 1raiz2 é dado por:
Então, .

Passo 5

Agora, reescrevemos a integral original em termos de integral duplaB e^y^2 + 2x^2 , dx , dy = integral duplau^2 + v^2 <= 9 e^v^2 + u^2 cdot 1raiz2 , du , dv e 1raiz2 integral duplau^2 + v^2 <= 9 e^u^2 + v^2 , du , dv :
Isso simplifica para:

Passo 6

Para resolver essa integral, vamos usar coordenadas polares no plano 1raiz2 integral0^2pi integral0^3 e^r^2 cdot r , dr , dtheta . Onde e , com variando de 0 a 3 e de 0 a . A integral fica:

Passo 7

Vamos resolver a integral interna:
integral0^3 e^r^2 cdot r , dr
Fazendo uma substituição 12 integral0^9 e^s , ds = 12 [ e^9 - 1 ] , temos , ou seja, . Assim:

Passo 8

Agora, substituímos de volta na integral:
1raiz2 cdot integral0^2pi 12 ( e^9 - 1 ) , dtheta = 12raiz2 ( e^9 - 1 ) cdot 2pi = piraiz2 ( e^9 - 1 )

Resposta

A integral dupla vale .

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