Calcule as integrais:
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral indefinida
.
Informações dadas: a função integranda é a soma de três termos: ,
e
. A integral é indefinida (precisa da constante de integração).
Informações dadas: a função integranda é a soma de três termos:
Passo 2
Vamos usar a propriedade de linearidade da integral: a integral de uma soma é a soma das integrais, e constantes podem sair da integral. Assim podemos escrever
Passo 3
Apresento a regra básica que vamos usar (regra da potência para antiderivadas): para todo
,
onde
é o expoente da potência e
é a constante de integração. Também usaremos que se
é constante então
.
Passo 4
Aplicando a regra da potência ao primeiro termo
: aqui
, então
(Em somas de integrais, os
individuais serão agrupados num único
no final, por isso não precisamos anotar
toda vez.)
Passo 5
Agora o segundo termo
. Primeiro fatoramos a constante
. Para
usamos
na regra da potência:
Multiplicando pela constante:
Passo 6
O terceiro termo é
. Usando a regra para constantes:
(Na linguagem da potência, seria
e
.)
Passo 7
Agora somamos os resultados dos três termos e acrescentamos a constante de integração única
:
Passo 8
Verificação rápida (sempre uma boa ideia na prova): derivando
obtém-se
que é justamente a integranda. Então a antiderivada está correta. Força aí — pratique mais alguns exemplos parecidos para ganhar confiança!