Calcule as integrais:
\int\left(x^{3}-4 x+1\right) d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral indefinida
\displaystyle \int\left(x^{3}-4 x+1\right)\,dx.
Informações dadas: a função integranda é a soma de três termos: \,x^{3}, -4x e 1. A integral é indefinida (precisa da constante de integração).

Passo 2

Vamos usar a propriedade de linearidade da integral: a integral de uma soma é a soma das integrais, e constantes podem sair da integral. Assim podemos escrever
\int\left(x^{3}-4x+1\right)\,dx = \int x^{3}\,dx - 4\int x\,dx + \int 1\,dx.

Passo 3

Apresento a regra básica que vamos usar (regra da potência para antiderivadas): para todo n\neq -1,
\int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C,
onde n é o expoente da potência e C é a constante de integração. Também usaremos que se a é constante então \int a\,dx = a x + C.

Passo 4

Aplicando a regra da potência ao primeiro termo \int x^{3}\,dx: aqui n=3, então
\int x^{3}\,dx = \frac{x^{3+1}}{3+1} + C = \frac{x^{4}}{4} + C.
(Em somas de integrais, os C individuais serão agrupados num único C no final, por isso não precisamos anotar C toda vez.)

Passo 5

Agora o segundo termo -4\int x\,dx. Primeiro fatoramos a constante -4. Para \int x\,dx usamos n=1 na regra da potência:
\int x\,dx = \frac{x^{1+1}}{1+1} = \frac{x^{2}}{2}.
Multiplicando pela constante:
-4\int x\,dx = -4\cdot\frac{x^{2}}{2} = -2x^{2}.

Passo 6

O terceiro termo é \int 1\,dx. Usando a regra para constantes:
\int 1\,dx = x.
(Na linguagem da potência, seria n=0 e \int x^{0}\,dx = x^{1}/1 = x.)

Passo 7

Agora somamos os resultados dos três termos e acrescentamos a constante de integração única C:
\int\left(x^{3}-4x+1\right)\,dx = \frac{x^{4}}{4} - 2x^{2} + x + C.

Passo 8

Verificação rápida (sempre uma boa ideia na prova): derivando \dfrac{x^{4}}{4}-2x^{2}+x obtém-se
\frac{d}{dx}\!\left(\frac{x^{4}}{4}-2x^{2}+x\right) = x^{3} - 4x + 1,
que é justamente a integranda. Então a antiderivada está correta. Força aí — pratique mais alguns exemplos parecidos para ganhar confiança!

Resposta

\displaystyle \frac{x^{4}}{4}-2x^{2}+x+C

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