Calcule as integrais iteradas abaixo:
\int_{-1}^{1} \int_{0}^{2}\left(x^{2}+y^{2}\right) d x d y

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral iterada
\int_{-1}^{1}\int_{0}^{2}\left(x^{2}+y^{2}\right)\,dx\,dy.
Informações dadas:
  • Os limites internos são x de 0 a 2.
  • Os limites externos são y de -1 a 1.
  • O integrando é x^{2}+y^{2}.
O que é pedido: o valor numérico da integral iterada acima.

Passo 2

Plano de resolução e regras que vamos usar (passo a passo, bem didático).
  • Como a integral interna é em x, vamos integrar primeiro em x mantendo y como constante. Ou seja, enquanto integramos em x, trate \,y^{2} como um número constante.
  • Regras básicas de integração que usaremos:
    • Regra da soma: \displaystyle \int (f(x)+g(x))\,dx = \int f(x)\,dx + \int g(x)\,dx.
    • Regra do fator constante: se c é constante então \displaystyle \int c\,dx = c\int 1\,dx = c x.
    • Regra da potência (para n\neq -1): \displaystyle \int t^{n}\,dt = \frac{t^{n+1}}{n+1} + C. Aqui t é a variável de integração.
  • Aplicando isso: para integrar \,x^{2} em x usamos \displaystyle \int x^{2}\,dx = \frac{x^{3}}{3}. Para integrar y^{2} em x (com y constante) usamos \displaystyle \int y^{2}\,dx = y^{2}x.

Passo 3

Calcular a integral interna em x:
\int_{0}^{2}\left(x^{2}+y^{2}\right)\,dx = \int_{0}^{2}x^{2}\,dx+\int_{0}^{2}y^{2}\,dx.
Agora aplicando as fórmulas:
\int_{0}^{2}x^{2}\,dx=\left[\frac{x^{3}}{3}\right]_{0}^{2}=\frac{2^{3}}{3}-\frac{0^{3}}{3}=\frac{8}{3},
\int_{0}^{2}y^{2}\,dx=y^{2}\left[x\right]_{0}^{2}=y^{2}\,(2-0)=2y^{2}.
Portanto a integral interna é
\int_{0}^{2}\left(x^{2}+y^{2}\right)\,dx=\frac{8}{3}+2y^{2}.

Passo 4

Agora integramos o resultado em y nos limites -1 a 1:
\int_{-1}^{1}\left(\frac{8}{3}+2y^{2}\right)\,dy = \frac{8}{3}\int_{-1}^{1}1\,dy+2\int_{-1}^{1}y^{2}\,dy.
Calcule cada termo separadamente:
\int_{-1}^{1}1\,dy=[y]_{-1}^{1}=1-(-1)=2.
\int_{-1}^{1}y^{2}\,dy=\left[\frac{y^{3}}{3}\right]_{-1}^{1} =\frac{1^{3}}{3}-\frac{(-1)^{3}}{3}=\frac{1}{3}-\left(-\frac{1}{3}\right)=\frac{2}{3}.
Substituindo:
\frac{8}{3}\cdot 2 + 2\cdot\frac{2}{3} = \frac{16}{3} + \frac{4}{3} = \frac{20}{3}.

Passo 5

Interpretação rápida (para te motivar): o integrando x^{2}+y^{2} é sempre não negativo, e a região de integração é um retângulo no plano (x,y). O valor \dfrac{20}{3} é a “massa” total se imaginarmos densidade x^{2}+y^{2} sobre esse retângulo. Beleza — é um número simples e positivo.

Resposta

\dfrac{20}{3}

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