Calcule as integrais iteradas abaixo:
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral iterada
Informações dadas:
- Os limites internos são
de a . - Os limites externos são
de a . - O integrando é
.
O que é pedido: o valor numérico da integral iterada acima.
Passo 2
Plano de resolução e regras que vamos usar (passo a passo, bem didático).
- Como a integral interna é em
, vamos integrar primeiro em mantendo como constante. Ou seja, enquanto integramos em , trate como um número constante. - Regras básicas de integração que usaremos:
- Regra da soma:
. - Regra do fator constante: se
é constante então . - Regra da potência (para
): . Aqui é a variável de integração.
- Regra da soma:
- Aplicando isso: para integrar
em usamos . Para integrar em (com constante) usamos .
Passo 3
Calcular a integral interna em
:
Agora aplicando as fórmulas:
Portanto a integral interna é
Passo 4
Agora integramos o resultado em
nos limites
a
:
Calcule cada termo separadamente:
Substituindo:
Passo 5
Interpretação rápida (para te motivar): o integrando
é sempre não negativo, e a região de integração é um retângulo no plano
. O valor
é a “massa” total se imaginarmos densidade
sobre esse retângulo. Beleza — é um número simples e positivo.