Calcule as integrais iteradas abaixo:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral iterada
Informações dadas:
- O integrando é
. - As variáveis de integração são
(interna) com e (externa) com . - A tarefa é obter o valor numérico da integral dupla orientada na ordem
primeiro e depois.
Passo 2
Ideia geral e regra útil: numa integral iterada, ao integrar em relação a
tratamos
como constante. Uma fórmula muito útil que usaremos é
porque a derivada de
em relação a
é
. Aqui o expoente tem
, que depende de
mas é constante durante a integração em
.
Passo 3
Calcular a integral interna
.
Fazendo a substituição
(ou aplicando diretamente a fórmula acima com
), temos
. Quando
vem
; quando
vem
. Assim
Obs.: para
o integrando é zero e o resultado da expressão
também tende a
, então a fórmula vale para todos
.
Passo 4
Substituir o resultado da integral interna na integral externa. Agora precisamos calcular
Usamos a regra
. Assim,
E
Passo 5
Subtrair os dois termos:
Simplificando,