Calcule as integrais iteradas abaixo:
\int_{0}^{1} \int_{0}^{2} x e^{x y} d y d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral iterada
\int_{0}^{1}\int_{0}^{2} x e^{x y}\,dy\,dx.
Informações dadas:
  • O integrando é x e^{x y}.
  • As variáveis de integração são y (interna) com 0\le y\le2 e x (externa) com 0\le x\le1.
  • A tarefa é obter o valor numérico da integral dupla orientada na ordem dy primeiro e dx depois.

Passo 2

Ideia geral e regra útil: numa integral iterada, ao integrar em relação a y tratamos x como constante. Uma fórmula muito útil que usaremos é
\int e^{a y}\,dy=\frac{1}{a}e^{a y}\quad\text{para }a\neq0,
porque a derivada de e^{a y} em relação a y é a e^{a y}. Aqui o expoente tem a=x, que depende de x mas é constante durante a integração em y.

Passo 3

Calcular a integral interna \displaystyle\int_{0}^{2} x e^{x y}\,dy.
Fazendo a substituição u=x y (ou aplicando diretamente a fórmula acima com a=x), temos du=x\,dy. Quando y=0 vem u=0; quando y=2 vem u=2x. Assim
\int_{0}^{2} x e^{x y}\,dy=\int_{0}^{2x} e^{u}\,du=\bigl[e^{u}\bigr]_{0}^{2x}=e^{2x}-1.
Obs.: para x=0 o integrando é zero e o resultado da expressão e^{2x}-1 também tende a 0, então a fórmula vale para todos x\in[0,1].

Passo 4

Substituir o resultado da integral interna na integral externa. Agora precisamos calcular
\int_{0}^{1}\bigl(e^{2x}-1\bigr)\,dx.
Usamos a regra \displaystyle\int e^{a x}\,dx=\frac{1}{a}e^{a x}. Assim,
\int_{0}^{1} e^{2x}\,dx=\left[\frac{1}{2}e^{2x}\right]_{0}^{1}=\frac{1}{2}\bigl(e^{2}-1\bigr).
E
\int_{0}^{1}1\,dx=1.

Passo 5

Subtrair os dois termos:
\int_{0}^{1}\bigl(e^{2x}-1\bigr)\,dx=\frac{1}{2}\bigl(e^{2}-1\bigr)-1=\frac{1}{2}e^{2}-\frac{1}{2}-1=\frac{1}{2}e^{2}-\frac{3}{2}.
Simplificando,
\frac{1}{2}e^{2}-\frac{3}{2}=\frac{e^{2}-3}{2}.

Resposta

\displaystyle \frac{e^{2}-3}{2}

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