Calcule as integrais duplas abaixo, esboçando a região de integração:
\iint_{R} x+y d A, onde R é a região triangular limitada pelo eixo x, pela reta y=x e pela reta x=2.

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral dupla \iint_{R} x+y\,dA, onde R é a região triangular limitada por três curvas: o eixo x (ou seja y=0), a reta y=x e a reta x=2.
Informações dadas:
  • Integrando: \,x+y.
  • Região R: triângulo limitado por \,y=0\,,\;y=x e \,x=2.
  • Também é pedido esboçar a região de integração (ou seja, entender os limites adequados).
    O objetivo final é encontrar o valor numérico de \iint_{R} (x+y)\,dA.

Passo 2

Esboço e descrição da região R.
  • Interseções das curvas (pego das equações fornecidas):
    • y=0 com y=x dá o ponto (0,0).
    • y=0 com x=2 dá o ponto (2,0).
    • y=x com x=2 dá o ponto (2,2).
  • Portanto R é o triângulo com vértices (0,0), (2,0), (2,2).
    Decidir ordem de integração: uma escolha natural é integrar primeiro em y (fatias verticais) e depois em x. Para uma fatia vertical fixa em x (com 0\le x\le 2), y varia entre a curva inferior y=0 e a superior y=x. Logo os limites são
0\le x\le 2,\qquad 0\le y\le x.
Explicação do elemento de área: ao usar fatias verticais, dA é escrito como dy\,dx. Uma fatia em x tem largura dx e altura aproximada y_{\text{top}}-y_{\text{bottom}}=x-0, então a área da fatia é (x-0)\,dx; a integral soma essas fatias ponderadas pelo integrando.

Passo 3

Montar a integral iterada com os limites escolhidos. Com as observações do passo anterior:
\iint_{R}(x+y)\,dA \;=\; \int_{x=0}^{2}\left(\int_{y=0}^{x} (x+y)\,dy\right)dx.
Agora calculamos a integral interna (integrando em y, tratando x como constante). Primeiro, ache a primitiva em y:
\int (x+y)\,dy = \int x\,dy + \int y\,dy = x y + \tfrac{1}{2}y^{2}.
Avaliar de y=0 até y=x:
\left[x y + \tfrac{1}{2}y^{2}\right]_{y=0}^{y=x} = x\cdot x + \tfrac{1}{2}x^{2} - \big(0 + 0\big) = x^{2} + \tfrac{1}{2}x^{2} = \tfrac{3}{2}x^{2}.

Passo 4

Agora sobra a integral em x:
\int_{0}^{2} \tfrac{3}{2}x^{2}\,dx = \tfrac{3}{2}\int_{0}^{2} x^{2}\,dx.
Calcule a primitiva de x^{2}: \int x^{2}\,dx = \tfrac{x^{3}}{3}. Assim
\tfrac{3}{2}\left[\tfrac{x^{3}}{3}\right]_{0}^{2} = \tfrac{3}{2}\cdot\left(\tfrac{8}{3}-0\right) = \tfrac{3}{2}\cdot\tfrac{8}{3} = 4.
Portanto a integral vale 4.

Passo 5

Verificação alternativa (opcional, para praticar mudar a ordem): integrar por fatias horizontais. Para isso y vai de 0 a 2, e para cada y fixo, x varia de x=y até x=2. A integral fica
\int_{y=0}^{2}\left(\int_{x=y}^{2}(x+y)\,dx\right)dy,
fazendo as contas (primtiva em x é \tfrac{x^{2}}{2}+yx) chega-se ao mesmo resultado final 4. Isso confirma que a resposta é consistente independentemente da ordem.

Resposta

4

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