Calcule as integrais duplas abaixo, esboçando a região de integração:
, onde
é a região triangular limitada pelo eixo
, pela reta
e pela reta
.
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral dupla
, onde
é a região triangular limitada por três curvas: o eixo
(ou seja
), a reta
e a reta
.
Informações dadas:
Informações dadas:
- Integrando:
. - Região
: triângulo limitado por e . - Também é pedido esboçar a região de integração (ou seja, entender os limites adequados).
O objetivo final é encontrar o valor numérico de.
Passo 2
Esboço e descrição da região
.
- Interseções das curvas (pego das equações fornecidas):
-
com dá o ponto . -
com dá o ponto . -
com dá o ponto .
-
- Portanto
é o triângulo com vértices , , .
Decidir ordem de integração: uma escolha natural é integrar primeiro em(fatias verticais) e depois em . Para uma fatia vertical fixa em (com ), varia entre a curva inferior e a superior . Logo os limites são
Explicação do elemento de área: ao usar fatias verticais,
é escrito como
. Uma fatia em
tem largura
e altura aproximada
, então a área da fatia é
; a integral soma essas fatias ponderadas pelo integrando.
Passo 3
Montar a integral iterada com os limites escolhidos. Com as observações do passo anterior:
Agora calculamos a integral interna (integrando em
, tratando
como constante). Primeiro, ache a primitiva em
:
Avaliar de
até
:
Passo 4
Agora sobra a integral em
:
Calcule a primitiva de
:
. Assim
Portanto a integral vale
.
Passo 5
Verificação alternativa (opcional, para praticar mudar a ordem): integrar por fatias horizontais. Para isso
vai de
a
, e para cada
fixo,
varia de
até
. A integral fica
fazendo as contas (primtiva em
é
) chega-se ao mesmo resultado final
. Isso confirma que a resposta é consistente independentemente da ordem.