Calcule as integrais iteradas. integral1^2 integral0^y^2 e^x / y^2 d x d y

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem para resolver uma integral dupla: . Isso envolve cálculo integral, especificamente integrais iteradas. Para resolver, vamos precisar saber como integrar funções exponenciais e manejar os limites de integração que dependem da variável .

Passo 2

Primeiro, vamos integrar a função integral e^x / y^2 , dx = y^2 e^x / y^2 + C em relação a , mantendo como constante. A integral de em relação a é simplesmente . No nosso caso, , então a integral fica:

Passo 3

Agora, vamos avaliar essa antiderivada nos limites de y^2 e^y^2 / y^2 - y^2 e^0 = y^2 e^1 - y^2 cdot 1 = y^2(e - 1) de a :

Passo 4

Com isso, nossa integral dupla agora se simplifica para uma única integral em relação a integral1^2 y^2(e - 1) , dy :
(e - 1) integral1^2 y^2 , dy
Podemos fatorar o já que é uma constante:

Passo 5

Vamos integrar integral y^2 , dy = y^33 + C em relação a . A integral de é , então:

Passo 6

Avaliando essa antiderivada de 2^33 - 1^33 = 83 - 13 = 73 a :

Passo 7

Finalmente, multiplicamos pelo (e - 1) cdot 73 = 7(e - 1)3 :

Resposta

O valor da integral dupla é .

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