Determinar o plano tangente e a reta normal á superficie x^2/4 + y^2/4 + z^2 - 1 = 0 em P0 = (1, 1, 1/raiz(2))

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o plano tangente e a reta normal à superfície definida por no ponto . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo envolvendo derivadas parciais e vetores normais.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a equação da superfície. Ela está na forma implícita . Para encontrar o plano tangente, precisamos calcular o gradiente de , que nos dá um vetor normal à superfície nesse ponto.

Passo 3

Calculando o gradiente de , temos:
No ponto , substituímos os valores:
Esse vetor é normal à superfície no ponto .

Passo 4

Agora, para encontrar o plano tangente, usamos a equação geral do plano:
onde é o vetor normal e é o ponto dado. Substituindo os valores:
Simplificando:
Multiplicando tudo por 2 para tirar os denominadores:

Passo 5

Para a reta normal, usamos o vetor normal como direção e o ponto como ponto de passagem. As equações paramétricas da reta ficam:
onde é o parâmetro.

Resposta

O plano tangente à superfície no ponto é dado por:
A reta normal à superfície no ponto possui as equações paramétricas:

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