Calcule as integrais listadas abaixo, usando o método da substituição :
(35) integral e^2 x d x2+e^2 x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral usando o método da substituição. Esse método é útil quando a integral contém uma função composta, ou seja, uma função dentro de outra. Vamos precisar identificar uma parte da integral que podemos chamar de para simplificar o cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher uma substituição adequada. Olhando para a integral, percebemos que o denominador u = 2 + e^2x é uma boa candidata para . Então, vamos definir:
Agora, precisamos calcular a derivada de em relação a para encontrar .

Passo 3

Calculando a derivada de dudx = ddx(2 + e^2x) = 0 + 2e^2x = 2e^2x :
du = 2e^2x , dx
Isso significa que:
e^2x , dx = du2
Queremos expressar em termos de , então dividimos ambos os lados por 2:

Passo 4

Agora, vamos substituir integral e^2x2 + e^2x , dx = integral 1u cdot du2 = 12 integral 1u , du e na integral original:
Simplificamos a constante fora da integral.

Passo 5

A integral de integral 1u , du = ln|u| + C em relação a 12 integral 1u , du = 12 ln|u| + C é o logaritmo natural de :
Então, substituindo de volta:

Passo 6

Por fim, lembrando que 12 ln|2 + e^2x| + C , substituímos de volta para obter a resposta em termos de 12 ln(2 + e^2x) + C :
Como é sempre positivo, podemos simplificar para:

Resposta

integral e^2x2 + e^2x , dx = 12 ln(2 + e^2x) + C

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