Calcule as integrais listadas abaixo, usando o método da substituição :
(40) integral x d xx^4+a^4

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo: precisamos calcular a integral usando o método da substituição. Isso faz parte do conteúdo de cálculo integral, especificamente técnicas de integração usando substituição. Para resolver, vamos precisar identificar uma substituição adequada que simplifique a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos observar que no denominador temos . Perceba que a derivada de é , mas no numerador temos apenas . Isso sugere que talvez possamos ajustar a expressão para utilizar uma substituição mais simples.

Passo 3

Vamos tentar uma substituição onde . Assim, a derivada de em relação a é , ou seja, . Observando nossa integral, temos , que é metade de : .

Passo 4

Substituindo integral x,dxx^4 + a^4 = integral du2u^2 + a^4 = 12 integral duu^2 + a^4 e na integral, temos:

Passo 5

Agora, a integral é uma forma da integral padrão , onde .

Passo 6

Aplicando a fórmula, temos:
12 cdot 1a^2 tan^-1(ua^2) + C = 12a^2 tan^-1(x^2a^2) + C

Resposta

A integral é igual a , onde é a constante de integração.

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