Calcule as integrais que seguem (escolha apenas 6)
j) integral cos ^1 / 5(x) sen(x) d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é a integral de em relação a . Isso pertence ao conteúdo de Cálculo Integral, mais especificamente às integrais que envolvem funções trigonométricas e potenciações. Para resolver isso, a gente vai precisar usar uma técnica chamada substituição.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma parte da integral que pode ser substituída por uma variável mais simples. Olha só, é a derivada de u = cos(x) (lembra disso das derivadas das funções trigonométricas?). Então, vamos fazer:

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada de du = -sen(x) dx em relação a sen(x) dx = -du :
Isso significa que:

Passo 4

Vamos substituir essas expressões na integral original. Ficaria assim:
Que simplifica para:
integral cos^1/5(x) cdot sen(x) dx = integral u^1/5 cdot (-du)

Passo 5

Agora, vamos integrar integral u^n du = u^n+1n+1 + C em relação a integral u^1/5 du = u^6/56/5 + C = 56 u^6/5 + C . A regra geral para integrar potências de -integral u^1/5 du = -56 u^6/5 + C é:
Aplicando isso aqui:
Então, voltando ao nosso caso:

Passo 6

Por fim, vamos substituir de volta -56 cos^6/5(x) + C :

Resposta

A integral de é:
-56 cos^6/5(x) + C

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