Determinar a evoluta da hélice circular
alpha(t) = (acost, asent, b*t), para todo t em R, a > 0, b > 0

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que o exercício pede. A gente tem uma hélice circular, que é basicamente uma curva que dá aquela volta e sobe ao mesmo tempo, como uma escada rolante ou um parafuso. A tarefa aqui é encontrar a evoluta dessa hélice. A evoluta é o conjunto de todos os centros de curvatura da curva original. Para resolver isso, vamos precisar usar um pouco de cálculo vetorial e geometria diferencial, mas não se preocupa que a gente vai passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a definição da hélice circular dada no exercício:
Aqui, controla o raio da hélice e a sua inclinação ou a rapidez com que ela sobe.

Passo 3

Para achar a evoluta, precisamos encontrar a curva normal a cada ponto da hélice. Isso envolve calcular o vetor normal e a curvatura da hélice.

Passo 4

Primeiro, vamos calcular a primeira derivada da hélice em relação a , que nos dá o vetor velocidade:
Esse vetor nos mostra a direção em que a hélice está se movendo em cada ponto.

Passo 5

Agora, vamos calcular a segunda derivada, que é o vetor aceleração:
Esse vetor nos ajuda a entender como a direção da hélice está mudando, ou seja, a curvatura.

Passo 6

A curvatura da hélice é dada por:
Vamos calcular o produto vetorial :
Calculando isso, obtemos:
Agora, o módulo desse vetor é:
E o módulo de é:
Então, a curvatura é:

Passo 7

O vetor normal unitário é dado por:
Esse vetor aponta para o centro de curvatura a partir do ponto na hélice.

Passo 8

A evoluta é obtida deslocando cada ponto da hélice na direção do vetor normal por uma distância igual ao raio de curvatura :
Então, a evoluta é:
Simplificando:

Resposta

A evoluta da hélice circular é dada por:

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